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Distribuzione di Bernoulli

Distribuzione di Bernoulli
Postato il 5 Agosto 2022
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Nei precedenti articoli ti ho spiegato il calcolo delle probabilità e il calcolo combinatorio; oggi ti parlerò invece della distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana), che è direttamente collegata alla distribuzione binomiale, e della sua relazione con la distribuzione di Poisson e quella geometrica.

La distribuzione bernoulliana

Prima di definire cos'è la distribuzione bernoulliana, partiamo chiarendo che cos’è la distribuzione binomiale. In un altro articolo te ne ho parlato in modo approfondito, ma in questo caso ti basterà sapere che è una variabile casuale discreta, usata per probabilizzare il numero di successi ottenuti eseguendo un certo numero di prove di uno stesso esperimento. 

Quando si compie solamente una prova allora si parla di distribuzione di Bernoulli, che è quindi una distribuzione discreta di probabilità che prende in considerazione solamente due valori, 0 e 1, e prevede quindi due soli risultati per le prove a cui viene applicata: fallimento o successo. 

La distribuzione di Bernoulli prende il nome dallo scienziato Jakob Bernoulli che, nel 1703, fu uno dei primi matematici a teorizzare che il calcolo delle probabilità potesse essere applicato a tutti i campi esistenti, e non solamente a quello del gioco d’azzardo.

Cosa significa distribuzione discreta

Poichè, come abbiamo visto, la distribuzione di Bernoulli prende in considerazione solamente i numeri naturali, viene definita anche distribuzione discreta. Al contrario, se nel dataset vengono analizzati i numeri reali, si parla di distribuzione continua: questo è il caso, per esempio, della distribuzione Normale

La distribuzione discreta e la distribuzione continua sono i due tipi di distribuzione di probabilità che potrai trovare quando studi e applichi la statistica.

Come riconoscere una distribuzione binomiale

La distribuzione di Bernoulli
La distribuzione binomiale

Come abbiamo detto, la distribuzione di Bernoulli rientra nelle situazioni in cui si applica la distribuzione binomiale. Vediamo insieme come riconoscere la distribuzione binomiale facendo un esempio concreto.

Mettiamo che tu abbia in mano un dado (che in questo caso è la variabile aleatoria del nostro esperimento), e voglia capire la probabilità p di ottenere 6 volte “1” lanciando 10 volte il dado. Ora, visto che stiamo calcolando la probabilità di successo effettuando un certo numero di prove, ognuna uguale alla precedente, siamo di fronte ad una distribuzione binomiale. 

Per essere definito come binomiale, però, un processo deve avere le seguenti caratteristiche

  • il risultato di ogni evento può essere solo positivo o negativo, successo o fallimento, ecc...
  • ciascun evento è indipendente dagli altri 
  • la variabile assume un determinato numero di valori
  • la probabilità di successo o fallimento di ogni evento è sempre costante ad ogni prova

Se hai ancora qualche dubbio su cosa sia la distribuzione binomiale, ti lascio questo mio video in cui te la spiego in modo chiaro e semplice utilizzando una metafora statistica.

YouTube video
La distribuzione binomiale spiegata con una metafora

Il processo di Bernoulli

Il processo di Bernoulli

La distribuzione binomiale è legata al processo di Bernoulli, che, a sua volta, è formato dalle prove di Bernoulli.

Il processo di Bernoulli è un processo aleatorio discreto, che prende in esame delle variabili casuali indipendenti x, e che viene spesso descritto come l’astrazione matematica del lancio della moneta.

Ogni lancio, infatti, è una cosiddetta prova di Bernoulli, perchè segue delle precise caratteristiche:

  • non è influenzata dalla prova precedente: infatti la probabilità di successo non aumenta o diminuisce a seconda del risultato ottenuto in precedenza
  • ha solamente due risultati possibili: 0 (insuccesso) e 1 (successo)

Successo e insuccesso

Bisogna fare una precisazione quando si parla di questi due risultati possibili. Successo e insuccesso, infatti, sono da intendere come due risultati tra di loro opposti, ma non obbligatoriamente in un’accezione che contrappone un positivo e un negativo. 

I termini più adatti da utilizzare, infatti, potrebbero essere “successo” e “non-successo”, in quanto se il risultato ottenuto non è quello sperato non significa che sia sbagliato, ma semplicemente che è differente dal valore atteso

Quando si usa la distribuzione di Bernoulli

A questo punto, dovrebbe esserti chiaro in quali situazioni si può utilizzare la distribuzione di Bernoulli. Vediamone insieme, però, due esempi pratici.

Quando arrivi ad un bivio, e devi capire qual è la strada giusta da prendere per arrivare alla tua meta, allora sei di fronte a una distribuzione di Bernoulli: le possibilità sono solo due, quella giusta (il “successo”), e quella sbagliata (il “non-successo”).

Allo stesso modo, se chiedi ad una persona di uscire sei di nuovo in una situazione di distribuzione bernoulliana, in quanto le possibili risposte possono essere solo “sì” o “no”.

Un evento si definisce, quindi, bernoulliano se:

  • ha solo due risultati possibili, e uno dei due deve per forza verificarsi
  • i due risultati non possono verificarsi in contemporanea

La distribuzione di Poisson

Partendo dalla distribuzione di Bernoulli, si può ottenere un’altra variabile causale discreta: la distribuzione di Poisson (o legge degli eventi rari)

Di questo argomento te ne ho già parlato in modo dettagliato nell'articolo che ti ho linkato sopra, quindi oggi te ne accennerò solamente i punti fondamentali.

Come prima cosa, specifichiamo che, al contrario della distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson prevede un numero infinito di prove, e anche il numero di successi può essere infinitamente grande. Può essere utilizzata per approssimare la distribuzione binomiale di parametri n e p, ma solamente quando il numero di prove n è grande mentre la probabilità di successo p è molto piccola, e stiamo quindi di fronte ad un evento raro. Questo è il motivo, appunto, per cui viene anche detta legge degli eventi rari.

Vediamo ora quando si usa la distribuzione di Poisson.

Possiamo utilizzarla quando in una situazione sono presenti tre specifiche caratteristiche:

  • la probabilità che si verifichi un evento in un tempo molto piccolo è proporzionale all’intervallo temporale 
  • la probabilità che si verifichi un secondo evento nello stesso tempo è molto piccola
  • ogni evento è indipendente

Un esempio pratico di utilizzo della distribuzione di Poisson è capire quante persone entrano in media in un negozio durante uno specifico lasso di tempo, per esempio nelle ore del turno pomeridiano.

Un’ultima ma fondamentale caratteristica della distribuzione di Poisson è che media e varianza devono essere identiche.

La distribuzione geometrica

Infine, alla distribuzione di Bernoulli e al processo di Bernoulli è legata anche la distribuzione geometrica, anch’essa una distribuzione di probabilità discreta, che prende in considerazione solo numeri naturali, ma senza lo “0”

Si lega al processo di Bernoulli in quanto viene utilizzata per descrivere anche il numero di fallimenti (“non-successi”) che si potrebbero verificare prima di ottenere il primo successo in una serie di prove di Bernoulli

Quando si usa la distribuzione geometrica?

Si usa quando si fa un numero potenzialmente infinito di tentativi indipendenti tra loro, con un possibile risultato dicotomico (quindi solo due risultati accettati), e si vuole sapere quanti tentativi bisogna effettuare prima di ottenere il primo risultato positivo.

Per concludere, ti lascio questo mio video in cui ti mostro come risolvere un esercizio sulla distribuzione geometrica in modo facile e veloce, utilizzando la calcolatrice SHARP.

YouTube video
Esercizio sulla distribuzione geometrica

Distribuzione di Bernoulli EXCEL

Non c’è un comando

Distribuzione di Bernoulli SPSS

Non c’è un comando

Riassumendo

  • La distribuzione di Bernoulli è una distribuzione discreta di probabilità che prende in considerazione solamente due valori, 0 e 1
  • Gli eventi presi in considerazione devono essere tra di loro indipendenti (prove di Bernoulli)
  • La distribuzione di Bernoulli può essere utilizzata solo se si hanno due risultati possibili, e uno dei due deve per forza verificarsi, e se i due risultati non possono verificarsi in contemporanea
  • Alla distribuzione di Bernoulli, e al processo di Bernoulli, si legano anche la distribuzione di Poisson e la distribuzione geometrica

"Avevi detto che dalla moneta può uscire solo testa o croce."
"Così sembra: ma immagina di lanciare la moneta tante volte, un giorno potrebbe atterrare di taglio..."

Dal film Legacy of Kain: Soul Reaver 2

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