La distribuzione binomiale è una variabile casuale discreta usata per probabilizzare il numero di successi ottenuti eseguendo un certo numero di prove di uno stesso esperimento. Se viene compiuta una sola prova si parla di distribuzione di Bernoulli o variabile casuale Bernoulliana.

Quando si usa la distribuzione binomiale

Per formalizzare questo tipo di distribuzione abbiamo bisogno di due informazioni chiave:

n = numero di prove indipendenti ed equiprobabili

p = probabilità di successo della singola prova

In statistica il successo è inteso con il verificarsi di un evento. Siccome questa distribuzione prevede eventi solo dicotomici, cioè con sole due modalità, avrai sempre la probabilità del successo e dell’insuccesso

Si ha una variabile aleatoria (VA) con distribuzione binomiale, se l’esperimento da condurre consiste in n prove indipendenti (in gergo si dice con reinserimento o con reimmissione o con riposizione) ciascuna con la stessa probabilità p che accada. 

Ogni prova avrà probabilità p di successo e probabilità 1-p di insuccesso. Ad esempio, il lancio di una moneta segue una distribuzione binomiale in quanto si può formalizzare in questo modo:

X = VA che conta il numero di teste ottenute nei vari lanci

n = numero di lanci effettuati

p = probabilità di ottenere testa = 0,50

Osserva che le prove effettuate, ossia i lanci, sono:

• indipendenti perché il risultato di un lancio non condiziona quello di un altro. Ogni volta che lanci una moneta la probabilità di uscire testa è sempre la stessa.
• equiprobabili perché la probabilità di ottenere testa in un lancio qualsiasi è sempre 0,50

Distribuzione di probabilità

In un altro articolo ti ho spiegato in generale le variabili casuali e in particolare ti ho parlato di funzione di massa di probabilità (PMF) e funzione di ripartizione (CDF) per una variabile casuale discreta. Di seguito ti fornisco le formule per il calcolo della PMF e CDF di una distribuzione binomiale.

Funzione di massa di probabilità

Fermo restando i parametri n e p già introdotti, la PMF di una variabile aleatoria binomiale X descrive la probabilità che questa assuma un determinato valore x. In parole più semplici, si può dire che essa restituisce la probabilità che il numero di successi delle n prove effettuate sia pari a x:

Nota che nella formula data, il primo termine tra parentesi si chiama coefficiente binomiale, un numero introdotto nel calcolo delle probabilità che permette di trovare il numero di modi con cui un successo può essere ottenuto. La formula del coefficiente binomiale ti restituisce tutte le possibili combinazioni ed è la seguente:

dove il simbolo ! indica il fattoriale definito come:

n! = n * (n-1) * (n-2) * . . . *3 * 2 * 1

È chiaro che nel caso in cui l’esperimento prevede solo una prova, n = 1 e la formula precedente si semplifica ottenendo la funzione di probabilità di una variabile casuale di Bernoulli:

In questo caso specifico X può assumere soltanto 2 valori, ossia 0 (insuccesso) e 1 (successo).

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una distribuzione binomiale è invece data da:

Questa indica la probabilità che il numero di successi ottenuti nell’esperimento in questione non superi il numero x specificato. 

Come tutte le funzioni di ripartizioni discrete devi sommare le probabilità che vanno dalla X più piccola fino a quella desiderata.

Per agevolarti nella comprensione di un esercizio sulla distribuzione binomiale ti metto a disposizione una lezione presa dal mio videocorso su probabilità e variabili casuali.

Media e varianza

Il bello delle variabili aleatorie è che non devi calcolare media, varianza e deviazione standard con la classica procedura, ma puoi affidarti a formule sintetiche che ti aiutano nel processo.

MEDIA = E(X) = n * p 

Nota: Il simbolo di un valore atteso di una qualsiasi variabile casuale è E(X) perchè deriva dall’inglese Expectation, cioè aspettativa che in statistica è sinonimo di media.

VARIANZA = V(X) = n * p * (1-p)

DEVIAZIONE STANDARD = σ(X) = √ [n * p * (1-p)]

Tutti i calcoli inerenti un esercizio sulla distribuzione binomiale possono risultare lunghi mentre si sta facendo un esame universitario.

A tal proposito ti segnalo un metodo che può farti risparmiare tempo e soprattutto garantirti la sicurezza al 100% di risultati corretti.

Non è niente di particolare e non ti preoccupare perchè è tutto legale, si tratta solo di sapere utilizzare al meglio lo strumento della calcolatrice scientifica. Qui sotto ti riporto un esercizio svolto con la mia calcolatrice SHARP.

Approssimazione della distribuzione binomiale

Quando il numero di prove n è molto alto o la probabilità p di successo è piccola è algebricamente scomodo calcolare le probabilità illustrate sopra.

Ci sono situazioni in cui è possibile fare un’approssimazione della variabile casuale binomiale a due distribuzioni di probabilità. 

La prima è una variabile casuale discreta e riguarda la distribuzione di Poisson.

La seconda è una variabile casuale continua e riguarda la distribuzione normale.

Approssimazione della binomiale alla Poisson

• Binomiale con n ≥ 20 e p ≤ 0,05

oppure

• Binomiale con n ≥ 100 e µ ≤ 10

allora X si può approssimare:

• Poisson con parametro 𝜆 =n * p

Approssimazione della binomiale alla Normale

• Binomiale con n > 30

oppure

• Binomiale con µ > 5

oppure

• Binomiale con σ²> 10

allora X si può approssimare:

• Normale con parametro µ = n * p  ;  σ² = n * p * (1-p)

Distribuzione binomiale EXCEL

DISTRIB.BINOM.N (Num_successi;Prove;Probabilità_s;Cumulativo)

Distribuzione binomiale SPSS

Analizza >>> Test non parametrici >>> Finestre di dialogo legacy >>> Binomiale

Riassumendo

• Una distribuzione binomiale è un numero aleatorio discreto che probabilizza il numero di successi ottenuti da un esperimento che consiste in n prove ripetute indipendenti ed equiprobabili.
• Se l’esperimento prevede una sola prova si parla di distribuzione Bernoulliana.
• La funzione di massa restituisce la probabilità in un punto specifico, la funzione di ripartizione restituisce la sua cumulata
• È possibile approssimare la distribuzione binomiale o con quella di Poisson o con la normale.
• La media è pari al numero di osservazioni (n) moltiplicato la probabilità del successo (p)
• La varianza è pari alla media (n*p) moltiplicato la probabilità dell'insuccesso (1-p)

Se tu mi dai una moneta e io ti do una moneta ognuno di noi ha una moneta. Se tu mi dai un'idea e io ti do un'idea ognuno di noi ha due idee.

(SILVIO CECCATO, filosofo e linguista italiano)