blog
La distribuzione binomiale è una variabile casuale discreta usata per probabilizzare il numero di successi ottenuti eseguendo un certo numero di prove di uno stesso esperimento.
Se viene compiuta una sola prova si parla di distribuzione di Bernoulli o variabile casuale Bernoulliana.
In statistica il successo è inteso con il verificarsi di un evento. Siccome questa distribuzione prevede eventi solo dicotomici, cioè con sole due modalità, avrai sempre la probabilità del successo e dell’insuccesso.
Si ha una variabile aleatoria con distribuzione binomiale, se l’esperimento da condurre consiste in n prove indipendenti (in gergo si dice con reinserimento o con reimmissione o con riposizione) ciascuna con la stessa probabilità p che accada.
Ogni prova avrà probabilità p di successo e probabilità 1-p di insuccesso.
Per formalizzare questo tipo di distribuzione abbiamo bisogno di due informazioni chiave:
n = numero di prove indipendenti ed equiprobabili
p = probabilità di successo della singola prova
Ad esempio, il lancio di una moneta segue una distribuzione binomiale in quanto si può formalizzare in questo modo:
X = Variabile casuale che conta il numero di teste ottenute nei vari lanci
n = numero di lanci effettuati
p = probabilità di ottenere testa = 0,50
Osserva che le prove effettuate, ossia i lanci, sono:
Indipendenti, perché il risultato di un lancio non condiziona quello di un altro. Ogni volta che lanci una moneta la probabilità di uscire testa è sempre la stessa.
Equiprobabili perché la probabilità di ottenere testa in un lancio qualsiasi è sempre 0,50.
In un altro articolo ti ho spiegato in generale le variabili casuali e in particolare ti ho parlato di funzione di massa di probabilità (PMF) e funzione di ripartizione (CDF) per una variabile casuale discreta. Di seguito ti fornisco le formule per il calcolo della PMF e CDF di una distribuzione binomiale.
Fermo restando i parametri n e p già introdotti, la PMF di una variabile aleatoria binomiale X descrive la probabilità che questa assuma un determinato valore x.
In parole più semplici, si può dire che essa restituisce la probabilità che il numero di successi delle n prove effettuate sia pari a x:
Nota che nella formula data, il primo termine tra parentesi si chiama coefficiente binomiale, un numero introdotto nel calcolo delle probabilità che permette di trovare il numero di modi con cui un successo può essere ottenuto.
La formula del coefficiente binomiale ti restituisce tutte le possibili combinazioni ed è la seguente:
\(\displaystyle \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \)
dove il simbolo ! indica il fattoriale definito come:
n! = n * (n-1) * (n-2) * . . . *3 * 2 * 1
È chiaro che nel caso in cui l’esperimento prevede solo una prova, n = 1 e la formula precedente si semplifica ottenendo la funzione di probabilità di una variabile casuale di Bernoulli.
In questo caso specifico X può assumere soltanto 2 valori, ossia 0 (insuccesso) e 1 (successo).
\(\displaystyle P(X = x) = p^x (1 - p)^{1-x} \)
La funzione di ripartizione di una distribuzione binomiale è invece data da:
\(\displaystyle P(X \leq x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} \)
Questa indica la probabilità che il numero di successi ottenuti nell’esperimento in questione non superi il numero x specificato.
Come tutte le funzioni di ripartizioni discrete devi sommare le probabilità che vanno dalla X più piccola fino a quella desiderata.
Per agevolarti nella comprensione di un esercizio sulla distribuzione binomiale ti metto a disposizione una lezione presa dal mio videocorso su probabilità e variabili casuali.
Il bello delle variabili aleatorie è che non devi calcolare media, varianza e deviazione standard con la classica procedura, ma puoi affidarti a formule sintetiche che ti aiutano nel processo.
MEDIA = E(X) = n * p
Nota: Il simbolo di un valore atteso di una qualsiasi variabile casuale è E(X) perchè deriva dall’inglese Expectation, cioè aspettativa che in statistica è sinonimo di media.
VARIANZA = V(X) = n * p * (1-p)
Tutti i calcoli inerenti un esercizio sulla distribuzione binomiale possono risultare lunghi mentre si sta facendo un esame universitario.
A tal proposito ti segnalo un metodo che può farti risparmiare tempo e soprattutto garantirti la sicurezza al 100% di risultati corretti.
Non è niente di particolare e non ti preoccupare perchè è tutto legale, si tratta solo di sapere utilizzare al meglio lo strumento della calcolatrice scientifica. Qui sotto ti riporto un esercizio svolto con la mia calcolatrice SHARP.
Da un'urna contenente 200 palline colorate ce ne sono 80 blu. Estraendone 6 con reimmissione, qual è la probabilità che:
Tabella dei dati:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Parametro} & \textbf{Valore} \\
\hline
n & 6 \\
p & 0,4 \\
x_A & 2 \\
x_B & 5,6 \\
x_C & 0,1,2 \\
\hline
\end{array}
\]
Calcolo dei parametri della distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale è definita come:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
Dove:
Media, varianza e deviazione standard
\[
E(X) = n \cdot p = 6 \cdot 0,4 = 2,4
\]
\[
Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 6 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 1,44
\]
\[
\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,44} = 1,2
\]
Calcolo delle probabilità richieste
A) Probabilità che esattamente 2 palline siano blu:
\[
P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^4
\]
\[
= \frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot 0,16 \cdot 0,1296
\]
\[
= \frac{6!}{2!4!} \cdot 0,16 \cdot 0,1296 = \frac{6 \cdot 5}{2!} \cdot 0,16 \cdot 0,1296
\]
\[
= 15 \cdot 0,16 \cdot 0,1296 = 0,3110
\]
B) Probabilità che ci siano più di 4 palline blu:
\[
P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6)
\]
\[
P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot 0,4^5 \cdot 0,6^1
\]
\[
= \frac{6!}{5!(6-5)!} \cdot 0,01024 \cdot 0,6
\]
\[
= 6 \cdot 0,01024 \cdot 0,6 = 0,0369
\]
\[
P(X = 6) = \binom{6}{6} \cdot 0,4^6 \cdot 0,6^0
\]
\[
= 1 \cdot 0,004096 \cdot 1 = 0,0041
\]
\[
P(X > 4) = 0,0369 + 0,0041 = 0,041
\]
C) Probabilità che ci siano al massimo 2 palline blu:
\[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]
\[
P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot 0,4^0 \cdot 0,6^6
\]
\[
= 1 \cdot 1 \cdot 0,0467 = 0,0467
\]
\[
P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0,4^1 \cdot 0,6^5
\]
\[
= 6 \cdot 0,4 \cdot 0,0778 = 0,1866
\]
\[
P(X = 2) = 0,3110 \quad \text{(dal punto A)}
\]
\[
P(X \leq 2) = 0,0467 + 0,1866 + 0,3110 = 0,5443
\]
Risultati finali
\[
P(X = 2) = 0,3110
\]
\[
P(X > 4) = 0,041
\]
\[
P(X \leq 2) = 0,5443
\]
Quando il numero di prove n è molto alto o la probabilità p di successo è piccola è algebricamente scomodo calcolare le probabilità illustrate sopra.
Ci sono situazioni in cui è possibile fare un’approssimazione della variabile casuale binomiale a due distribuzioni di probabilità.
La prima è una variabile casuale discreta e riguarda la distribuzione di Poisson.
La seconda è una variabile casuale continua e riguarda la distribuzione normale.
oppure
allora X si può approssimare:
oppure
oppure
allora X si può approssimare:
DISTRIB.BINOM.N (Num_successi;Prove;Prob_s;Cum)
Analizza >>> Test non parametrici >>> Finestre di dialogo legacy >>> Binomiale
Se tu mi dai una moneta e io ti do una moneta ognuno di noi ha una moneta. Se tu mi dai un'idea e io ti do un'idea ognuno di noi ha due idee.
(SILVIO CECCATO, filosofo e linguista italiano)
Iscriviti alla Newsletter
