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Distribuzione normale

Postato il 4 Novembre 2021
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La distribuzione normale, detta anche curva Gaussiana dal famoso matematico tedesco Gauss, è senza dubbio la distribuzione più usata in statistica.

Probabilmente non te ne sei mai accorto, ma sei circondato da fenomeni in natura che seguono un "andamento di tipo normale". Per esempio l'altezza o il peso delle persone, le auto ad un casello autostradale e persino le persone all'interno di un treno in metropolitana.

Detto questo come si fa a capire se una distribuzione è normale? Cosa significa distribuzione Gaussiana? E come posso vedere se una distribuzione è normale in Excel?

A queste e altre domande risponderò in questo articolo!

Caratteristiche della distribuzione normale

Proprietà:

La distribuzione normale si distingue dalle altre distribuzioni di probabilità in quanto possiede le seguenti caratteristiche:

Simmetria

É simmetrica o centrata rispetto al valore medio

Valori centrali

Media, moda e mediana coincidono

E' chiaro che i fenomeni che studi non hanno una precisione millimetrica con queste caratteristiche; quello che conta è che la variabile tenda ad assumere la classica forma a campana e si avvicini alla distribuzione normale dimodoché si possano sfruttare le caratteristiche che permettono di eseguire test d'ipotesi e intervalli di confidenza. Si dice in questo caso che i dati si possono approssimare ad una normale.

Distribuzione normale del QI mondiale

Probabilità

I valori di probabilità dipendono da due parametri: media (µ) e varianza (σ2)

Forma

La forma della distribuzione dipende dalla deviazione standard (σ)

Distribuzione normale LEPTOCURTICA (o ipernormale), BASSA deviazione standard

Distribuzione normale MESOCURTICA (o normale), REGOLARE deviazione standard

Distribuzione normale PLATICURTICA (o iponormale), ALTA deviazione standard

La deviazione standard

Se i dati in tuo possesso sono distribuiti normalmente puoi far uso di una legge empirica che ti permette di conoscere approssimativamente la probabilità che un certo evento si verifichi. Tale legge empirica si basa sulla conoscenza della deviazione standard e dal teorema di Chebyshev si ha che:

  • Il 68% dei dati si trovano entro una deviazione standard dalla media

(cioè risiedono tra -σ e +σ )

  • Il 95% dei dati si trovano entro due deviazioni standard dalla media

(cioè risiedono tra -2σ e +2σ )

  • Il 99,7% dei dati si trovano entro tre deviazioni standard dalla media

(cioè risiedono tra -3σ e +3σ )

In altre parole, si hanno le probabilità del 68%, 95% e 99,7% che i dati in possesso cadano rispettivamente negli intervalli menzionati.

Questo ti consente di calcolare la media, ma soprattutto la deviazione standard di distribuzioni di dati che provengono da una popolazione normale e sapere quanto probabile sia ciascun dato della distribuzione.

La deviazione standard spiegata semplice con la metafora delle vacanze

Come standardizzare un valore

Spesso si ha la necessità di non utilizzare i valori di partenza, ma di usare valori standardizzati affinché possano essere confrontati tra di loro o al fine di sfruttare le potenzialità della distribuzione normale standardizzata.

Sottrazione

Prendi ogni singolo valore (x) e sottrai la media (µ) di tutta la variabile.

Divisione

Prendi la differenza calcolata prima e dividila per la deviazione standard (σ) di tutta la variabile.

Punteggio Z

Con i due semplici passaggi spiegati sopra hai trovato il punteggio Z, detto Z-score in inglese.

Se tale punteggio è positivo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore più elevato della media generale.

Se tale punteggio è negativo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore meno elevato della media generale.

Se tale punteggio è nullo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore uguale alla media generale.

Tale punteggio può essere confrontato con un valore teorico appartenente alla distribuzione normale standard per capire in quale range di probabilità si trova il valore osservato.

Questo confronto lo fai con una tavola statistica che rappresenta la funzione di ripartizione della normale standardizzata.

Qui sotto ti metto la tavola della distribuzione normale standardizzata che si usa comunemente durante un esame universitario. La tavola è realizzata da me in Excel tramite la funzione DISTRIB.NORM.ST.N

Tavola della normale standardizzata. Quantili positivi. Probabilità a sinistra del quantile.

Nel corso della mia carriera da docente universitario ho visto che gli studenti fanno molta difficoltà a interpretare questa tavola e confondono molto spesso ciò che sta dentro (probabilità) da ciò che sta fuori (quantili).

Ho deciso dunque rendere accessibile a tutti la lezione dedicata del mio videocorso sulla statistica inferenziale che parla proprio di come cercare i numeri all'interno della tavola. Qui sotto puoi vedere il video.

Esercizio svolto sull'interpretazione della tavola della normale standardizzata

Perché standardizzare?

Tre sono i principali motivi:

  1. Aiuta a prendere decisioni più appropriate in certe situazioni
  2. Semplifica la vita perché abbiamo bisogno di una sola tavola (la tavola della normale standardizzata) piuttosto che fare calcoli specifici per ogni valore di media e deviazione standard. Infatti, standardizzando i valori della distribuzione, si avrà sempre media 0 e varianza 1.
  3. A valori positivi corrispondono i numeri che nella distribuzione reale superano la media, mentre a valori negativi corrispondono i numeri che nella distribuzione reale non superano la media.

Se stai facendo un esame universitario e hai bisogno di un aiuto per standardizzare un valore della distribuzione normale, ho preparato per un te un aiuto importante con l'uso della calcolatrice scientifica Sharp.

Esercizio svolto sulla standardizzazione tramite la calcolatrice scientifica

Se invece vuoi vedere un esempio che ti faccia capire meglio il significato della distribuzione normale, guardati questo video in cui spiego il concetto attraverso una metafora.

La distribuzione normale spiegata semplice con la metafora della macchina di Galton

Quando una distribuzione è normale

Per riconoscere se effettivamente il fenomeno che stai studiando segue l'andamento di una variabile casuale normale, ci sono diversi metodi:

Grafici:

Istogramma

distribuzione normale
Distribuzione di frequenze tramite un istogramma

P-P plot

P-P plot

Indici descrittivi:

Asimmetria (Skewness in inglese)

Se il valore dell'asimmetria è compreso tra -1 e 1 allora la distribuzione si può considerare simmetrica altrimenti no.

Nell'esempio sopra i grafici a sinistra hanno un indice di asimmetria pari a 1,5 mentre quelli a destra uguale a -0,02

Curtosi (Kurtosis in inglese)

Se il valore della curtosi è compreso tra -1 e 1 allora la distribuzione si può considerare normale altrimenti no.

Nell'esempio sopra i grafici a sinistra hanno un indice di curtosi pari a 1,9 mentre quelli a destra uguale a 0,07

Test d'ipotesi:

Shapiro-Wilk (piccoli campioni)

Se il valore del p-value è superiore a 0,05 il test di Shapiro-Wilk non risulta significativo e quindi la distribuzione è normale.

Nell'esempio sopra i grafici a sinistra hanno un p-value < a 0,001 mentre quelli a destra uguale a 0,2

Kolmogorov-Smirnov (grandi campioni)

Se il valore del p-value è superiore a 0,05 il test di Kolmogorov-Smirnov non risulta significativo e quindi la distribuzione è normale.

Nell'esempio sopra i grafici a sinistra hanno un p-value < a 0,001 mentre quelli a destra uguale a 0,919

Distribuzione Normale EXCEL

Probabilità normale:

DISTRIB.NORM.N (X;Media;Dev_standard;Cumulativo)

Probabilità normale:

DISTRIB.NORM.ST.N (Z;Cumulativa)

Valore critico normale:

INV.NORM.N (Probabilità;Media;Dev_standard)

Valore critico normale:

INV.NORM.S (Probabilità)

Distribuzione Normale SPSS

Non esiste un comando specifico, ma SPSS fornisce gli strumenti per verificare se una variabile si distribuisce normalmente attraverso

Riassumendo

  • E’ una delle variabili più importanti e utilizzate in statistica in quanto molti fenomeni in natura si distribuiscono normalmente
  • La standardizzazione permette di confrontare fenomeni che hanno diverse unità di misura
  • L’uso della tavola della normale consente di conoscere probabilità associate a un fenomeno
  • Grazie alle sue caratteristiche è applicata in molti teoremi e test statistici

La vita è la distribuzione di un errore o di errori.

(SAMUEL BUTLER - Scrittore inglese)

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