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Distribuzione normale

Postato il 4 Novembre 2021
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Caratteristiche della distribuzione normale

La distribuzione gaussiana, qui sotto rappresentata con la sua funzione di densità, si distingue dalle altre distribuzioni di probabilità in quanto possiede le seguenti caratteristiche:

  • É simmetrica o centrata rispetto al valore medio
  • Media, moda e mediana coincidono
Distribuzione normale
  • I valori di probabilità dipendono da due parametri: media (µ) e varianza (σ2)
  • La forma varia in funzione della deviazione standard (σ): 
  • ipernormale (o leptocurtica), bassa deviazione standard
  • normale (o mesocurtica), regolare deviazione standard
  • iponormale (o platicurtica), alta deviazione standard
Distribuzione platicurtica

La deviazione standard

Se i dati in tuo possesso sono distribuiti normalmente puoi far uso di una legge empirica che ti permette di conoscere approssimativamente la probabilità che un certo evento si verifichi. Tale legge empirica si basa sulla conoscenza della deviazione standard e dal teorema di Chebyshev si ha che:

  • Il 68% dei dati si trovano entro una deviazione standard dalla media

(cioè risiedono tra -σ e +σ )

  • Il 95% dei dati si trovano entro due deviazioni standard dalla media

(cioè risiedono tra -2σ e +2σ )

  • Il 99,7% dei dati si trovano entro tre deviazioni standard dalla media

(cioè risiedono tra -3σ e +3σ )

In altre parole, si hanno le probabilità del 68%, 95% e 99,7% che i dati in possesso cadano rispettivamente negli intervalli menzionati.

Questo ti consente di calcolare la media, ma soprattutto la deviazione standard di distribuzioni di dati che provengono da una popolazione normale e sapere quanto probabile sia ciascun dato della distribuzione.

Come standardizzare un valore

Spesso si ha la necessità di non utilizzare i valori di partenza, ma di usare valori standardizzati affinché possano essere confrontati tra di loro o al fine di sfruttare le potenzialità della distribuzione normale standardizzata.

1) Sottrazione

Prendi ogni singolo valore (x) e sottrai la media (µ) di tutta la variabile.

2) Divisione

Prendi la differenza calcolata prima e dividila per la deviazione standard (σ) di tutta la variabile.

3) Punteggio Z

Con i due semplici passaggi spiegati sopra hai trovato il punteggio Z, detto Z-score in inglese.

Se tale punteggio è positivo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore più elevato della media generale.

Se tale punteggio è negativo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore meno elevato della media generale.

Se tale punteggio è nullo, vorrà dire che quella osservazione per quella variabile ha un valore uguale alla media generale.

Tale punteggio può essere confrontato con un valore teorico appartenente alla distribuzione normale standard per capire in quale range di probabilità si trova il valore osservato.

Questo confronto lo fai con una tavola statistica che rappresenta la funzione di ripartizione della normale standardizzata.

Se qualche volta ti è capitato di fare un test d’intelligenza probabilmente avrai avuto a che fare con qualcosa di simile.

Distribuzione normale standardizzata

Perché standardizzare?

Tre sono i principali motivi:

  1. Ci aiuta a prendere decisioni più appropriate in certe situazioni
  2. Ci semplifica la vita perché abbiamo bisogno di una sola tavola (la tavola della normale standardizzata) piuttosto che fare calcoli specifici per ogni valore di media e deviazione standard. Infatti, standardizzando i valori della distribuzione, si avrà sempre media 0 e varianza 1.
  3. A valori positivi corrispondono i numeri che nella distribuzione reale superano la media, mentre a valori negativi corrispondono i numeri che nella distribuzione reale non superano la media.

BONUS VIDEO 1: Se vuoi vedere un esempio che ti faccia capire meglio il significato della variabile casuale normale, guardati questo video in cui spiego il concetto attraverso una metafora.

BONUS VIDEO 2: Ci sono alcune variabili casuali che per N grande o in altre situazioni specifiche, si distribuiscono come una normale. Una di queste è la variabile casuale binomiale e in questo video ti spiego un esercizio tratto dal mio videocorso sulle probabilità e variabili casuali.

COMANDI SOFTWARE:

  • Probabilità normale EXCEL: DISTRIB.NORM.N(X;Media;Dev_standard;Cumulativo)
  • Valore critico normale EXCEL: INV.NORM.N(Probabilità;Media;Dev_standard)
  • Distribuzione normale SPSS: Non esiste un comando specifico

Riassumendo

  • E’ una delle variabili più importanti e utilizzate in statistica in quanto molti fenomeni in natura si distribuiscono normalmente
  • La standardizzazione permette di confrontare fenomeni che hanno diverse unità di misura
  • L’uso della tavola della normale consente di conoscere probabilità associate a un fenomeno
  • Grazie alle sue caratteristiche è applicata in molti teoremi e test statistici

La vita è la distribuzione di un errore o di errori.

(SAMUEL BUTLER - Scrittore inglese)

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