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Media aritmetica

Postato il 18 Maggio 2020
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Come si definisce la media aritmetica

Definizione

E' un indicatore di sintesi che misura la tendenza centrale in un contesto di equidistribuzione.

Ovviamente questa definizione non è l'unica perché ne esistono molteplic, ma diciamo che a me piace questa.

Significato

L'espressione "indicatore di sintesi" l'avrai sicuramente già sentita se stai affrontando la preparazione di un esame universitario magari contrapposto all'espressione "indicatore di variabilità".

In sostanza quando vuoi riassumere un’intera distribuzione di valori ti affidi solitamente a un unico numero che ti possa rappresentare bene i dati. Quell'unico numero sintetizza appunto la totalità dei valori e molto spesso è la media.

Il contesto di equidistribuzione poi è fondamentale in quanto in sua assenza il valor medio perde di significato. Lo capirai più avanti nell'articolo ma in breve sappi che si riferisce al fatto che i numeri si distanzino più o meno allo stesso modo dalla media stessa.

Ho spiegato l'equidistribuzione sul mio canale di Youtube attraverso una metafora statistica che ti metto qua sotto.

La media aritmetica spiegata semplice tramite una metafora

Come si fa a calcolare la media aritmetica

Media aritmetica semplice

Questo è il caso che fin da piccoli, cioè quando frequentavi le elementari, ti è capitato di vedere sui banchi di scuola o meglio ancora nella vita di tutti i giorni.

Somma

Prendi tutti i numeri del fenomeno che stai studiando e sommali. Dal punto di vista della simbologia questo si scrive così: ∑xi (e si pronuncia "sommatoria delle ics i")

Divisione

Dividi la somma appena trovata per N che in statistica rappresenta sempre il totale delle osservazioni. Dividendo la somma dei valori per N si ottiene la media artimetica e formalmente scrivi così: ∑xi / N

Media aritmetica ponderata (o pesata)

Questo è il caso più frequente che troverai in un esame universitario di statistica o durante un lavoro. Nell'analisi dei dati spesso si ha a che fare con un grosso quantitativo di numeri che vengono racchiusi in tabelle di frequenza. Al suo interno trovi le modalità xi, cioè i modi in cui viene espressa la variabile, associate alle frequenze assolute ni, cioè le volte in cui vengono ripetute le modalità.

Moltiplicazione

Prendi ogni modalità (xi) e moltiplicala per ogni frequenza assoluta (ni) generando una nuova colonna che chiamerai xi * ni

Somma

Somma tutta la colonna ottenendo ∑ (xi * ni)

Divisione

Dividi la somma trovata al punto precedente per N ottenendo la media aritmetica.

∑ (xi * ni) / N

Caso particolare

Nel caso in cui non ti venissero fornite le frequenze assolute ma le frequenze relative (fi), siccome quest'ultime corrispondono alle prime diviso N, il calcolo si ferma alla sommatoria in quanto non ci sarebbe bisogno di dividerle per N visto che già tutte le frequenze sono state divise per il totale delle osservazioni. In sintesi la media si calcolerebbe facendo: ∑ (xi * fi)

Se hai ancora dubbi sul calcolo non ti preoccupare perché ti metto a disposizione una delle lezioni del mio videocorso di statistica descrittiva nella quale ti risolvo un esercizio.

Esercizio svolto media aritmetica ponderata

La variabilità

La deviazione standard

Una cosa importante da non sottovalutare è associare al valore della media un indicatore di variabilità che di solito è la deviazione standard corrispondente alla media quadratica degli scarti tra i singoli numeri e la media aritmetica. Al di là del calcolo in sé che esula da questo articolo, è fondamentale conoscerne il significato.

Ecco perché anche qui ho realizzato un video sull'interpretazione attraverso una metafora statistica e quello su cui voglio focalizzare l'attenzione è il fatto che non ha proprio senso sapere il valor medio di una distribuzione senza conoscerne la sua deviazione standard.

Questo indicatore condivide la stessa unità di misura del fenomeno oggetto di studio e se risulta troppo alto significa che la media aritmetica non è affidabile come indice di sintesi perché non riassume bene il carattere.

Banalmente, immagina di scrivere i primi 1000 numeri e di calcolare la media il cui risultato sarà di 500,5. Ti pare che questo valore possa darti un'idea corretta della distribuzione? Direi proprio di no visto che avrai numeri molto piccoli e molto grandi lontani dal valore centrale.

Outliers

Nell'esempio appena proposto i numeri piccoli e i numeri grandi vengono chiamati valori anomali o outliers in inglese e sono quei numeri che disturbano l'analisi e fanno si che la media non sia attendibile.

Ecco perché non ho mai capito quando su giornali, tv o articoli trovati in rete trovo statistiche inerenti a qualche media ma senza l'ausilio dello scarto quadratico medio, altro nome usato per indicare la deviazione standard.

Detto questo ti lascio un ultimo video nel quale puoi trovare il calcolo della media aritmetica e della deviazione standard attraverso la calcolatrice scientifica. Se ti devi preparare per un esame non dubitare e guardalo perché ti sarà molto utile in quanto uso un programmino che ti farà risparmiare tempo e fatica.

Esercizio svolto media aritmetica con la calcolatrice

Proprietà della media aritmetica

  1. minimo < MEDIA < massimo
  2. N * MEDIA = ∑xi
  3. ∑ (xi - MEDIA) = 0
  4. ∑ (xi - MEDIA)2 < ∑ (xi - C)2 dove C è un qualsiasi altro numero
  5. Associatività. La media generale è = alla media delle medie parziali
  6. Linearità. Y = a + b*X implica che M(Y) = a + b*M(X)

Media aritmetica EXCEL

MEDIA (num1;[num2];...)

MEDIA.VALORI (num1;[num2];...)

MEDIA TRONCATA (Matrice;Percento)

MEDIA.SE (Intervallo;Criterio;Int_media)

MEDIA.PIU'.SE (Int_media;Int_criteri1;Criterio1;Int_criteri2;Criterio2;...)

Media aritmetica SPSS

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Descrittive

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Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Esplora

Riassumendo

  • Per calcolare la media aritmetica semplice devi sommare i numeri e dividerli per il conteggio degli stessi
  • Per calcolare la media aritmetica ponderata devi moltiplicare i numeri per le rispettive frequenze, sommare tutte le moltiplicazioni e infine dividere per il conteggio dei numeri
  • Una media aritmetica deve sempre essere accompagnata dalla deviazione standard, o da un altro indice di variabilità, altrimenti perde di significato
  • Prima di calcolarla è bene osservare se ci sono dei valori anomali, detti outliers, e valutare se eliminarli dal calcolo
  • E'indice che fa parte della statistica descrittiva così come la moda e la mediana

 

Le statistiche sulla sanità dicono che un americano su quattro soffre di qualche forma di malattia mentale. Pensa ai tuoi tre migliori amici. Se stanno bene, vuol dire che sei tu.

(RITA MAE BROWN - Scrittrice statunistense)

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