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Media aritmetica

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Postato il 18 Maggio 2020
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Come si definisce la media aritmetica

Definizione

La media aritmetica è un indicatore di sintesi che misura la tendenza centrale all'interno di un contesto di equidistribuzione, e fa parte delle medie cosiddette analitiche, cioè che si ottengono effettuando operazioni matematiche su tutti i valori della distribuzione.

Ovviamente questa definizione non è l'unica, ne esistono molteplici, ma l'ho scelta perchè è molto chiara, e riesce ad esprimere in poche e semplici parole il concetto della media in statistica.

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Significato

Avrai sicuramente già sentito l'espressione "indicatore di sintesi", soprattutto se stai affrontando la preparazione di un esame universitario, magari contrapposta all'espressione "indicatore di variabilità".

In sostanza quando vuoi riassumere un’intera distribuzione di valori ti affidi solitamente a un unico numero, che ti possa rappresentare bene i dati. Quell'unico numero sintetizza appunto la totalità dei valori e molto spesso è la media.

Il contesto di equidistribuzione inoltre è fondamentale, in quanto in sua assenza il valore medio perde di significato. Lo capirai più avanti nell'articolo, ma in breve sappi che si riferisce al fatto che i numeri si distanzino più o meno in modo simile dalla media stessa.

Come si fa a calcolare la media aritmetica

Vediamo ora come si calcolano i diversi tipi di medie matematiche, non solo la media aritmetica semplice ma anche quella ponderata (o pesata).

Media aritmetica semplice

La media aritmetica semplice è il caso che fin da piccoli, cioè quando frequentavi le elementari, ti è capitato di vedere sui banchi di scuola o meglio ancora nella vita di tutti i giorni. Ha ovviamente molte applicazioni pratiche utili, come capire quanto dovremo pagare a testa al ristorante se si decide di dividere il conto finale tra tutti i presenti, oppure fare il calcolo della nostra media degli esami all'università.
Ma rivediamo comunque insieme come calcolarla.

Somma

Prendi tutti i numeri del fenomeno che stai studiando e sommali. Dal punto di vista della simbologia questo si scrive così: ∑xi (e si pronuncia "sommatoria delle ics i")

Divisione

Dividi la somma appena trovata per N, che in statistica rappresenta sempre il totale delle osservazioni. Dividendo la somma dei valori per N si ottiene la media aritmetica e formalmente scrivi così la formula: ∑xi / N.

Media aritmetica ponderata (o pesata)

Vediamo ora come si calcola la media ponderata, che è, invece, il caso più frequente che troverai in un esame universitario di statistica o durante un lavoro. Nell'analisi dei dati spesso si ha a che fare con un grosso quantitativo di numeri che vengono racchiusi in tabelle di frequenza. Al suo interno trovi le modalità xi, cioè i modi in cui viene espressa la variabile, associate alle frequenze assolute ni, cioè le volte in cui vengono ripetute le modalità.
Vediamo ora i passaggi da seguire per eseguire il calcolo della media ponderata.

Moltiplicazione

Prendi ogni modalità (xi) e moltiplicala per ogni frequenza assoluta (ni) generando una nuova colonna che chiamerai xi * ni

Somma

Somma tutta la colonna ottenendo la formula ∑ (xi * ni)

Divisione

Dividi la somma trovata al punto precedente per N e otterrai così la formula della media aritmetica ponderata.

∑ (xi * ni) / N

Caso particolare

Nel caso in cui non ti venissero fornite le frequenze assolute ma le frequenze relative (fi), siccome quest'ultime corrispondono alle prime diviso N, il calcolo si fermerebbe alla sommatoria, in quanto non ci sarebbe bisogno di dividerle per N visto che già tutte le frequenze sono state divise per il totale delle osservazioni. In sintesi la media si calcolerebbe facendo: ∑ (xi * fi)

Se hai ancora dubbi sul calcolo non ti preoccupare, ti metto a disposizione una delle lezioni del mio videocorso di statistica descrittiva, nella quale ti risolverò passo passo un esercizio. Potrai così vedere nel dettaglio l'applicazione dei diversi passaggi e comprendere meglio cosa fare.

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Esercizio svolto media aritmetica ponderata

La variabilità

Che cos'è la variabilità? In statistica, la variabilità di un fenomeno è la sua attitudine a presentarsi in diversi modi, quindi con diverse modalità, quando viene rilevato rispetto ad un totale.
Un'indicatore di variabilità molto utilizzato è la deviazione standard.

La deviazione standard

Una cosa importante da non sottovalutare è associare al valore della media un indicatore di variabilità, che di solito è la deviazione standard, corrispondente alla media quadratica degli scarti tra i singoli numeri e la media aritmetica. Al di là del calcolo in sé che esula da questo articolo, è fondamentale conoscerne il significato.

Ecco perché, anche in questo caso, ho realizzato un video per spiegarti il concetto della deviazione standard attraverso una metafora statistica: quello su cui voglio focalizzare la tua attenzione è il fatto che non ha proprio senso sapere il valor medio di una distribuzione senza conoscerne la sua deviazione standard.

Questo indicatore condivide la stessa unità di misura del fenomeno oggetto di studio e se risulta troppo alto significa che la media aritmetica non è affidabile come indice di sintesi, perché non riassume bene il carattere.

Banalmente, immagina di scrivere i primi 1000 numeri e di calcolare la media il cui risultato sarà di 500,5. Ti pare che questo valore possa darti un'idea corretta della distribuzione? Direi proprio di no, visto che avrai numeri molto piccoli e molto grandi lontani dal valore centrale.

Outliers

Cosa sono gli outliers?
Nell'esempio appena proposto i numeri piccoli e i numeri grandi vengono chiamati valori anomali (o outliers in inglese) e sono quei numeri che disturbano l'analisi e fanno sì che la media non sia attendibile.

Ecco perché non ho mai capito quando su giornali, tv o articoli trovati in rete trovo statistiche inerenti a qualche media ma senza l'ausilio dello scarto quadratico medio, altro nome usato per indicare la deviazione standard. Senza di essa il calcolo stesso della media perde totalmente di significato!

Detto questo, ti lascio un ultimo video nel quale puoi trovare come effettuare il calcolo della media aritmetica e attraverso la calcolatrice scientifica. Se ti devi preparare per un esame guardalo assolutamente, ti sarà molto utile in quanto ti mostrerò come risparmiare tempo e fatica nella risoluzione di esercizi su questi argomenti.

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Esercizio svolto media aritmetica con la calcolatrice

Proprietà della media aritmetica

Vediamo ora un elenco sulle diverse proprietà della media aritmetica:

  1. INTERNALITÀ: la media aritmetica è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo presi in considerazione.
    minimo < MEDIA < massimo
  2. PROPRIETÀ SECONDO CHISINI: La media è una quantità che sostituita a tutti i valori della distribuzione lascia invariata la loro somma.
    N * MEDIA = ∑xi
  3. La somma degli N scarti è uguale a zero
    ∑ (xi - MEDIA) = 0
  4. La somma del quadrato degli scarti xi da un valore C è minima quando questo è uguale alla media
    ∑ (xi - MEDIA)2 < ∑ (xi - C)2 dove C è un qualsiasi altro numero
  5. ASSOCIATIVITÀ: la media generale è uguale alla media delle medie parziali
  6. TRASLATIVA: Sommando con una costante "a" i termini di una serie di valori, anche la media risulta sommata alla costante "a".
    Y = a + X implica che M(Y) = a + M(X)
  7. OMOGENEITÀ: Moltiplicando con una costante "b" i termini di una serie di valori, anche la media risulta moltiplicata per la costante "b".
    Y = b * X implica che M(Y) = b * M(X)
  8. LINEARITÀ: Applicando una trasformazione lineare alla X, cioè una retta, la media di Y si trova sostituendo la X con la sua media.
    Y = a + b * X implica che M(Y) = a + b*M(X)

Media aritmetica EXCEL

MEDIA (num1;[num2];...)

MEDIA.VALORI (num1;[num2];...)

MEDIA TRONCATA (Matrice;Percento)

MEDIA.SE (Intervallo;Criterio;Int_media)

MEDIA.PIU'.SE (Int_media;Int_criteri1;Criterio1;Int_criteri2;Criterio2;...)

Media aritmetica SPSS

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Descrittive

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Frequenze

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Esplora

Riassumendo

  • Per calcolare la media aritmetica semplice devi seguire due passaggi: prima sommare i numeri che ti vengono dati e poi dividerli per il conteggio degli stessi.
  • Per calcolare la media aritmetica ponderata, invece, devi moltiplicare i numeri per le rispettive frequenze, in seguito sommare tutte le moltiplicazioni e infine dividere per il conteggio dei numeri.
  • Ricorda: una media aritmetica deve sempre essere accompagnata dalla deviazione standard, o da un altro indice di variabilità, altrimenti perde di significato!
  • Prima di calcolare la media aritmetica è bene osservare se ci sono dei valori anomali, detti outliers, e valutare se eliminarli dal calcolo.
  • La media aritmetica è un'indice che fa parte della statistica descrittiva, così come la moda e anche la mediana

 

Le statistiche sulla sanità dicono che un americano su quattro soffre di qualche forma di malattia mentale. Pensa ai tuoi tre migliori amici. Se stanno bene, vuol dire che sei tu.

(RITA MAE BROWN - Scrittrice statunistense)

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