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Varianza: cos’è e come calcolarla

Postato il 20 Maggio 2020
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Uno dei più importanti indicatori per misurare la variabilità di una distribuzione è la varianza. 

In questo articolo ho spiegato come la media aritmetica sia l’indicatore di sintesi più comune, ma per darle un senso c’è bisogno di affiancarle un numero che sia un indice di dispersione dei valori attorno ad essa.

Innanzitutto vediamo come la varianza viene calcolata. Ci sono due modi per farlo e può essere utile conoscerli entrambi.

Come si calcola la varianza

METODO DIRETTO

Calcola la media aritmetica

Esercizio svolto media aritmetica

Somma ogni numero e dividi per il conteggio degli stessi.

Calcola gli scarti dalla media

Prendi ogni valore xi e sottrai la media trovata al punto precedente.

Eleva al quadrato gli scarti dalla media

Prendi gli scarti del punto 2 e mettili al quadrato. Moltiplicali poi per le ni, se sei in presenza di una distribuzione di frequenze assolute. Alla fine somma i valori. Se invece sei in presenza di una distribuzione di frequenze relative non hai bisogno di quest'ultima moltiplicazione

Dividi per N

Prendi la somma del punto 3 (chiamata DEVIANZA) e rapportale al totale delle osservazioni (N). Il risultato è la varianza.

NOTA: Per sua natura può essere calcolata solo su variabili quantitative.

METODO INDIRETTO

Calcola la media aritmetica

Somma ogni numero e dividi per il conteggio degli stessi.

Eleva al quadrato le xi

Eleva al quadrato ogni valore xi e moltiplicalo per la ni, se sei in presenza di una distribuzione di frequenze assolute. Alla fine somma i valori.

Dividi per N

Prendi la somma del punto 2 e dividila per il totale delle osservazioni (N). Il risultato che trovi si chiama MOMENTO SECONDO ed è la prima parte della varianza.

Calcola la varianza

La varianza è uguale al momento secondo meno la media al quadrato.

Varianza
Formulario

Per aiutare gli studenti nel percorso di superamento dell'esame di statistica, ho messo a disposizione sul mio canale di Youtube un esercizio svolto con la calcolatrice scientifica che permette di risparmiare tanto tempo e soprattutto che assicura la buona riuscita dello stesso.

Esercizio svolto varianza, deviazione standard e coefficiente di variazione

Definizioni

Definizione di DEVIANZA:

Al punto 4 del metodo diretto si trova la devianza. Per capire il significato di questo indicatore devi partire dalla proprietà della media aritmetica per la quale la somma di tutti gli scarti è uguale a zero.

Se infatti calcoli tutti gli scarti dalla media (xi - media) e poi li sommi, vedrai che tale somma farà sempre zero, questo perché la media è un indice di equidistribuzione e pertanto "sbaglia" in difetto e in eccesso in egual misura.

Questa somma pertanto non ti aiuta a sapere quanto i numeri si discostano dalla media e non può essere utilizzata come misura di variabilità, e allora come si fa? Si prendono gli scarti al quadrato!

Ogni scarto elevato al quadrato darà sempre un numero positivo, o al massimo nullo, ma mai negativo generando quindi una somma positiva. Tale valore è appunto la DEVIANZA.

Definizione di VARIANZA:

Con la DEVIANZA ti ritrovi ad avere una somma degli scarti al quadrato che tuttavia non puoi ancora prendere come indice di variabilità.

Del resto fai lo stesso ragionamento quando come indicatore di sintesi usi la media dove non prendi solo la somma dei valori, ma dopo averli sommati li dividi per il totale generando appunto la media aritmetica che ti sintetizza la distribuzione.

Ecco, devi fare la stessa cosa con la devianza rapportandola al totale delle osservazioni che come sai viene indicato con N. Quello che trovi è la varianza!

VARIANZA = DEVIANZA / N

Di conseguenza la varianza è una media degli scarti quadratici. Il numero trovato però non ha significato reale vero e proprio perché è espresso con un'unità di misura quadrata rispetto a quella di partenza, mi spiego meglio.

Che cos'è la varianza

Probabilmente ti starai chiedendo perché gli scarti attorno al valore medio sono posti al quadrato. Perché queste quantità sono in parte negative e il quadrato rende il valore indipendente dal segno.

Il problema è che il numero ottenuto non avrà la stessa unità di misura della media aritmetica. Per risolvere l’inconveniente si usa la radice quadrata della varianza che dà luogo alla media quadratica degli scarti.

Il risultato trovato è chiamato scarto quadratico medio o deviazione standard che avrà la stessa unità di misura della variabile e di conseguenza della media.

Da quanto appena descritto puoi intuire che questo valore non sarà mai negativo, hai a che fare con quadrati e radice quadrata, ma al massimo può essere uguale a zero.

Nella realtà ciò non avviene mai perché è la situazione limite nel quale tutti i numeri sono uguali e quindi non variano.

A cosa serve la varianza

Tra i tanti usi della varianza uno in particolare merita attenzione ovvero quello riferito alle variabili casuali.

La varianza di una variabile casuale spesso cambia la forma della stessa e graficamente è utile osservare come i valori della variabile aleatoria si distribuiscano attorno al valor atteso.

Questo discorso è approfondito in uno dei miei videocorsi realizzati proprio sulla probabilità e le variabili casuali.

Se tutto questo non ti bastasse ho preparato un video in cui parlo della spiegazione della varianza in modo semplice attraverso un esempio di vita reale.

La varianza spiegata semplice con una metafora

Varianza EXCEL

VAR.P (Num1;Num2;...)

VAR.C (Num1;Num2;...)

VAR.POP.VALORI (Num1;Num2;...)

VAR.VALORI (Num1;Num2;...)

Varianza SPSS

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Descrittive

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Frequenze

Analizza >>> Statistiche descrittive >>> Esplora

Riassumendo

  • La varianza è un indicatore di variabilità che misura gli scarti quadratici dalla media aritmetica.
  • la sua radice quadrata, deviazione standard, è commentabile perché ha la stessa unità di misura della variabile oggetto di studio.
  • il suo utilizzo è molto ampio in diversi campi della statistica tra cui variabili aleatorie, intervalli di confidenza e verifiche di ipotesi.

Le statistiche dicono che un uomo su due preferisce due donne su una.

(FLAVIO AURELIO - comico italiano)

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