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La media quadratica, conosciuta anche come media di precisione, è un particolare tipo di media analitica.
Rispetto alla media aritmetica, dà maggior peso ai valori più estremi, dunque è particolarmente utile quando ci sono numeri che si discostano di molto dalla media aritmetica o nel caso ci siano numeri negativi e positivi.
La media quadratica è applicabile sia a insiemi di dati finiti che a distribuzioni di probabilità, rendendola un concetto molto versatile.
Ci sono tanti settori che utilizzano questa particolare media, vediamone alcuni esempi:
La media quadratica è fondamentale nel calcolo del valore efficace della corrente alternata (AC) e delle onde sonore. In questi casi:
É spesso usata per misurare la deviazione media dal valore atteso in un insieme di dati:
\[
MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2
\]
In alcuni contesti economici e finanziari, è utile per misurare la volatilità:
In analisi di segnali, la media quadratica è utilizzata per valutare l’energia o la potenza di un segnale:
Vedia ora i due casi in cui si può calcolare la media quadratica semplice e ponderata (o pesata), posta la seguente distribuzioni di valori
\[
x_1, x_2, x_3, \dots, x_{i-1}, x_i
\]
Il primo passaggio che devi fare è elevare al quadrato ogni valore dell'insieme di dati. Questo significa moltiplicare ogni valore per se stesso.
\[
x_1^2, x_2^2, x_3^2, \dots, x_{i-1}^2, x_i^2
\]
Nel secondo passaggio somma tutti i valori al quadrato. Questo fornisce la somma totale dei quadrati per l'insieme di dati.
\[
\sum_{j=1}^{i} x_j^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{i-1}^2 + x_i^2
\]
Poi dividi la somma totale dei quadrati per il numero di valori nell'insieme di dati. Con questo procedimento calcoli la media aritmetica dei quadrati.
\[
\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{i-1}^2 + x_i^2}{n}
\]
Ora come ultima cosa fai la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati per calcolare finalmente la media quadratica.
\[
\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \dots + x_{i-1}^2 + x_i^2}{n}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{i} x_j^2}
\]
Per calcolare la media quadratica, utilizziamo la formula:
\[
\mu_q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2}
\]
Consideriamo i seguenti cinque numeri:
\[
\{3, 5, 7, 9, 11\}
\]
Passo 1: Eleviamo al quadrato ciascun valore
\[
3^2 = 9, \quad 5^2 = 25, \quad 7^2 = 49, \quad 9^2 = 81, \quad 11^2 = 121
\]
Passo 2: Somma dei quadrati
\[
9 + 25 + 49 + 81 + 121 = 285
\]
Passo 3: Divisione per il numero totale di elementi (\( n = 5 \))
\[
\frac{285}{5} = 57
\]
Passo 4: Estrazione della radice quadrata
\[
\mu_q = \sqrt{57} \approx 7.55
\]
La media quadratica può essere calcolata anche per una distribuzione di frequenze. Questo è utile, per esempio, quando si desidera conoscere l'aspettativa del quadrato di una variabile casuale.
Il primo passaggio è uguale al caso della media quadratica di un insieme di dati quindi eleva al quadrato ogni modalità. Questo significa moltiplicare ogni valore per se stesso.
\[
x_1^2, x_2^2, x_3^2, \dots, x_{i-1}^2, x_i^2
\]
Moltiplica ogni valore al quadrato per la sua frequenza associata (ni).
\[
x_1^2 n_1, x_2^2 n_2, x_3^2 n_3, \dots, x_{i-1}^2 n_{i-1}, x_i^2 n_i
\]
Adesso somma tutti i valori al quadrato moltiplicati per le loro frequenze. Questo ti dà la somma ponderata dei quadrati per l'insieme di dati.
\[
x_1^2 n_1 + x_2^2 n_2 + x_3^2 n_3 + \dots + x_{i-1}^2 n_{i-1} + x_i^2 n_i
\]
Prosegui dividendo la somma ottenuta per il numero totale di valori, N. Questo ti darà la media aritmetica dei quadrati ponderata.
\[
\frac{x_1^2 n_1 + x_2^2 n_2 + x_3^2 n_3 + \dots + x_{i-1}^2 n_{i-1} + x_i^2 n_i}{N}
\]
Infine concludi con l'estrazione della radice quadrata del risultato della somma ponderata.
\[
\sqrt{\frac{x_1^2 n_1 + x_2^2 n_2 + x_3^2 n_3 + \dots + x_{i-1}^2 n_{i-1} + x_i^2 n_i}{N}}
\]
Nel caso in cui vengano fornite le frequenze relative (fi), o le probabilità (pi), invece delle frequenze assolute, il calcolo sarebbe leggermente diverso.
Poiché le frequenze relative sono semplicemente le frequenze assolute divise per N, il calcolo sarebbe simile ma non c'è bisogno di eseguire il quarto passaggio e cioè la divisione per N.
\[
\mu_q = \sqrt{\sum (x_i^2 f_i)}
\]
\[
\mu_q = \sqrt{\sum (x_i^2 p_i)}
\]
La formula della media quadratica ponderata è:
\[
\mu_q = \sqrt{\frac{\sum x_i^2 n_i}{\sum n_i}}
\]
Consideriamo gli stessi cinque numeri, con le seguenti frequenze associate:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Valori} (x_i) & \text{Frequenze} (n_i) \\
\hline
3 & 2 \\
5 & 3 \\
7 & 4 \\
9 & 5 \\
11 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]
Passo 1: Calcoliamo i quadrati dei valori e li moltiplichiamo per le rispettive frequenze
\[
3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18
\]
\[
5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75
\]
\[
7^2 \cdot 4 = 49 \cdot 4 = 196
\]
\[
9^2 \cdot 5 = 81 \cdot 5 = 405
\]
\[
11^2 \cdot 6 = 121 \cdot 6 = 726
\]
Passo 2: Somma dei prodotti
\[
18 + 75 + 196 + 405 + 726 = 1420
\]
Passo 3: Somma delle frequenze
\[
2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
\]
Passo 4: Divisione della somma dei prodotti per la somma delle frequenze
\[
\frac{1420}{20} = 71
\]
Passo 5: Estrazione della radice quadrata
\[
\mu_q = \sqrt{71} \approx 8.43
\]
Vediamo ora un elenco sulle diverse proprietà della media quadratica:
Una delle proprietà chiave è che essa dà più peso ai valori più grandi nell'insieme di dati. Questo perché, nel calcolo della media quadratica, i valori vengono elevati al quadrato prima di essere sommati.
Di conseguenza, i valori più grandi avranno un impatto maggiore sulla media finale rispetto ai valori più piccoli. Questa proprietà la rende particolarmente utile quando si lavora con dati che contengono valori estremi o valori anomali.
\[
\mu^{(r)} = \left( \frac{\sum x_i^r n_i}{N} \right)^{\frac{1}{r}}
\]
Un'altra importante proprietà è legata alla disuguaglianza di Jensen. Questo principio matematico stabilisce che per ogni n numeri positivi, la media quadratica sarà sempre maggiore o uguale alla media aritmetica.
Questo principio è particolarmente interessante quando si considerano le medie analitiche.
Le medie analitiche, dette medie di potenza R-esima, denotate con μ(r), sono una generalizzazione delle diverse tipologie di media ed hanno la seguente formula:
Quando r = 2, otteniamo la media quadratica. Ogni valore viene elevato al quadrato, si calcola la media e infine si estrae la radice quadrata del risultato.
Quando r = 1, otteniamo la media aritmetica. Ogni valore viene elevato alla prima potenza, cioè rimane invariato, quindi si calcola la media di questi valori.
Quando r = 0, otteniamo la media geometrica.
Quando r = -1, otteniamo la media armonica. Questo richiede di calcolare l'inverso di ogni valore, di calcolare la media aritmetica e infine di prendere l'inverso del risultato.
Secondo la disuguaglianza di Jensen, per qualsiasi insieme di numeri positivi, la media quadratica sarà sempre maggiore alla media aritmetica, che sarà sempre maggiore alla media geometrica, che sarà sempre maggiore alla media armonica.
\[
\mu^{(-1)} < \mu^{(0)} < \mu^{(1)} < \mu^{(2)}
\]
Importante proprietà è la stretta relazione con la varianza, concetto chiave nella statistica.
La media quadratica, d'altra parte, è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori. Questo significa che è legata alla varianza attraverso il momento secondo.
Il momento secondo viene calcolato nel metodo indiretto del calcolo della varianza ed è uguale al valore sotto radice che hai trovato nel calcolo della media quadratica.
Excel non offre un comando diretto per calcolarla. Tuttavia, con una combinazione di funzioni disponibili, è possibile calcolare la media quadratica in pochi passaggi.
Questo implica l'utilizzo della funzione SOMMA.Q, che calcola la somma dei quadrati dei numeri.
SOMMA.Q (num1;[num2];...).
Non esiste un comando specifico
"Secondo la "American Society of Microbiology" il 41% degli abitanti di New York non ci pensa mai a lavarsi le mani quando va in bagno. E il restante 59 % degli abitanti di New York non ci pensa neppure ad usare il bagno."
Jay Leno
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