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Media quadratica

Postato il 1 Giugno 2023
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La media quadratica, conosciuta anche come media di precisione, è un particolare tipo di media analitica. Rispetto alla media aritmetica, dà maggiore peso ai valori più grandi.

La media di precisione è particolarmente utile quando si hanno a che fare con valori che si discostano significativamente dalla media aritmetica, poiché assegna un peso maggiore ai valori estremi.

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Quando si usa la media quadratica?

Analisi dei segnali

Per esempio la media quadratica, nell'ingegneria elettrica e nelle telecomunicazioni, è spesso utilizzata per determinare la potenza media del segnale.

Fisica

Viene spesso utilizzata per calcolare la grandezza di una forza risultante, come la velocità di un oggetto che si muove in diverse direzioni.

Analisi dei dati

Nelle statistiche, può essere utilizzata per misurare la dispersione di un insieme di dati. È particolarmente utile quando ci sono valori estremi nell'insieme di dati che possono distorcere la media aritmetica.

Ricerca operativa e ottimizzazione

In ricerca operativa e ottimizzazione, può essere utilizzata per minimizzare l'errore quadratico medio, un parametro chiave nelle tecniche di previsione e modello di regressione.

Finanza

Nella finanza, viene talvolta utilizzata per calcolare la volatilità dei rendimenti di un portafoglio o di un indice di mercato.

Come si calcola la media quadratica

media quadratica

Media quadratica semplice

Vediamo i quattro passaggi chiave per il calcolo della media quadratica.

Elevazione al quadrato

Il primo passaggio che devi fare è elevare al quadrato ogni valore nell'insieme di dati. Questo significa moltiplicare ogni valore per se stesso.

Somma

Nel secondo passaggio somma tutti i valori al quadrato. Questo fornisce la somma totale dei quadrati per l'insieme di dati.

Divisione

Poi dividi la somma totale dei quadrati per il numero di valori nell'insieme di dati. Con questo procedimento calcoli la media aritmetica dei quadrati.

Radice quadrata

Ora come ultima cosa fai la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati per calcolare finalmente la media quadratica.

Media quadratica ponderata (o pesata)

La media quadratica può essere calcolata anche per una distribuzione di frequenze. Questo è utile, per esempio, quando si desidera conoscere l'aspettativa del quadrato di una variabile casuale.

Elevazione al quadrato

Il primo passaggio è uguale al caso della media quadratica di un insieme di dati quindi eleva al quadrato ogni modalità. Questo significa moltiplicare ogni valore per se stesso.

Moltiplicazione con la frequenza

Moltiplica ogni valore al quadrato per la sua frequenza associata (ni).

Somma

Adesso somma tutti i valori al quadrato moltiplicati per le loro frequenze. Questo ti dà la somma ponderata dei quadrati per l'insieme di dati.

Divisione

Prosegui dividendo la somma ottenuta per il numero totale di valori, N. Questo ti darà la media dei quadrati ponderata.

Radice quadrata

Infine concludi con l'estrazione della radice quadrata del risultato della somma ponderata.

Caso particolare

Nel caso in cui vengano fornite le frequenze relative (fi), o le probabilità (pi), invece delle frequenze assolute, il calcolo sarebbe leggermente diverso.

Poiché le frequenze relative sono semplicemente le frequenze assolute divise per N, il calcolo sarebbe simile ma non c'è bisogno di eseguire il quarto passaggio e cioè la divisione per N.

Media quadratica ponderata frequenze

Media quadratica ponderata probabilità

Proprietà della media quadratica

Vediamo ora un elenco sulle diverse proprietà della media quadratica:

Ponderazione dei valori

Una delle proprietà chiave è che essa dà più peso ai valori più grandi nell'insieme di dati. Questo perché, nel calcolo della media quadratica, i valori vengono elevati al quadrato prima di essere sommati.

Di conseguenza, i valori più grandi avranno un impatto maggiore sulla media finale rispetto ai valori più piccoli. Questa proprietà la rende particolarmente utile quando si lavora con dati che contengono valori estremi o valori anomali.

Disuguaglianza di Jensen e Medie Analitiche

Un'altra importante proprietà è legata alla disuguaglianza di Jensen. Questo principio matematico stabilisce che per ogni n numeri positivi, la media quadratica sarà sempre maggiore o uguale alla media aritmetica.

Questo principio è particolarmente interessante quando si considerano le medie analitiche.

Le medie analitiche, dette medie di potenza R-esima, denotate con μ(r), sono una generalizzazione delle diverse tipologie di media ed hanno la seguente formula:

Quando r = 2, otteniamo la media quadratica. Ogni valore viene elevato al quadrato, si calcola la media e infine si estrae la radice quadrata del risultato.

Quando r = 1, otteniamo la media aritmetica. Ogni valore viene elevato alla prima potenza, cioè rimane invariato, quindi si calcola la media di questi valori.

Quando r = 0, otteniamo la media geometrica.

Quando r = -1, otteniamo la media armonica. Questo richiede di calcolare l'inverso di ogni valore, di calcolare la media aritmetica e infine di prendere l'inverso del risultato.

Secondo la disuguaglianza di Jensen, per qualsiasi insieme di numeri positivi, la media quadratica sarà sempre maggiore alla media aritmetica, che sarà sempre maggiore alla media geometrica, che sarà sempre maggiore alla media armonica.

Relazione con la varianza

Importante proprietà è la stretta relazione con la varianza, concetto chiave nella statistica.

La media quadratica, d'altra parte, è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori. Questo significa che è legata alla varianza attraverso il momento secondo.

Il momento secondo viene calcolato nel metodo indiretto del calcolo della varianza ed è uguale al valore sotto radice che hai trovato nel calcolo della media quadratica.

Applicabilità

La media quadratica è applicabile sia a insiemi di dati finiti che a distribuzioni di probabilità, rendendola un concetto molto versatile.

Media quadratica Excel

Excel non offre un comando diretto per calcolarla. Tuttavia, con una combinazione di funzioni disponibili, è possibile calcolare la media quadratica in pochi passaggi.

Questo implica l'utilizzo della funzione SOMMA.Q, che calcola la somma dei quadrati dei numeri.

SOMMA.Q (num1;[num2];...).

Media quadratica SPSS

Non esiste un comando specifico

Riassumendo

  • La media quadratica , esattamente come nel caso della media geometrica e della media armonica, è un concetto che viene utilizzato in determinati ambiti, inclusi la fisica, l'ingegneria e le finanze.
  • Essa fornisce una misura di tendenza centrale che dà più peso ai valori estremi, rendendola particolarmente utile quando si lavora con dati che contengono valori molto grandi o molto piccoli rispetto alla media aritmetica.
  • Può essere calcolata manualmente seguendo una serie di passaggi: elevazione dei valori al quadrato, somma dei quadrati, divisione per il numero di valori e infine estrazione della radice quadrata del risultato.

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