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Distribuzione esponenziale

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Postato il 5 Giugno 2023
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La distribuzione esponenziale è un modello che descrive il tempo che intercorre tra due eventi successivi, che si verificano in modo continuo e indipendente a un tasso costante medio.

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Quando si usa la distribuzione esponenziale

La variabile aleatoria esponenziale viene utilizzata nei seguenti casi:

  • In ingegneria per modellare il tempo tra guasti in un sistema che si deteriora nel tempo, come un componente di un'automobile o un dispositivo elettronico.
  • In fisica e biologia per descrivere il tasso di decadimento di un elemento radioattivo o il tempo tra eventi di un processo di Poisson, come il tempo tra i salti di un neurone.
  • In economia e finanza per modellare il tempo tra eventi come le richieste di assicurazione o le fluttuazioni di prezzo nel trading di titoli.
  • In informatica per modellare il tempo tra richieste in un server web o il tempo tra arrivi di pacchetti in una rete.
  • In scienze sociali per modellare il tempo tra chiamate in un call center o il tempo tra tweet su un argomento di tendenza.
  • In ecologia per descrivere il tempo tra eventi rari, come terremoti o eruzioni vulcaniche.

Distribuzione di probabilità

Prima di tutto devi definire i valori dei parametri della variabile casuale esponenziale, che sono:

x = variabile casuale di interesse, rappresentata da un valore positivo (x ≥ 0)

e = numero di Eulero (o di Nepero), che ha valore di circa 2.71828

Ɵ = parametro di forma, che mostra la "pesantezza" della coda della distribuzione (Ɵ > 0)

Funzione di densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità è una funzione che descrive la probabilità relativa che una variabile X prenda un determinato valore x. Ti ricordo però che in una variabile casuale continua, come l'esponenziale, non ha senso calcolare la probabilità in un punto, ma bensì in un'area utilizzando la funzione di ripartizione.

In ogni caso la funzione di densità di probabilità della distribuzione esponenziale ha questa forma:

distribuzione esponenziale

Sostituisci i valori

Inserisci il valore x di cui vuoi calcolare la probabilità

Calcola Ɵx

Moltiplica x per il valore del parametro Ɵ

Calcola e-Ɵx

Eleva il valore di e al risultato ottenuto prima, ma col segno negativo (-Ɵx).

Moltiplica Ɵ per il risultato ottenuto al passo precedente

Quindi esegui la seguente operazione :

distribuzione esponenziale

Ricorda che questa formula è valida solo per x ≥ 0.

Funzione di ripartizione

distribuzione esponenziale

La funzione di ripartizione è un altro componente essenziale di una distribuzione di probabilità. Questa funzione descrive la probabilità p che una variabile casuale X sia minore o uguale a un certo valore x.

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Sostituisci i valori

Identifica e sostituisci i valori di nella formula.

Calcola Ɵx

Moltiplica x per il valore del parametro Ɵ

Calcola e-Ɵx

Eleva al risultato ottenuto al secondo passaggio col segno negativo (-Ɵx) il valore di e.

Applica la formula

Sottrai il risultato del passo precedente da 1.

distribuzione esponenziale

Ricorda che anche questa formula è valida solo per x ≥ 0.

Media, varianza e mediana

Nella distribuzione esponenziale, media, varianza e mediana dipendono tutti dal parametro Ɵ.

Media

La media è l'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:

distribuzione esponenziale

Varianza

La varianza è il quadrato dell'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:

distribuzione esponenziale

Se hai dubbi sulla varianza guarda questo mio video in cui te la spiego in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica.

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Varianza spiegata con una metafora

Mediana

La mediana si calcola come segue:

distribuzione esponenziale

Proprietà della distribuzione esponenziale

Assenza di memoria

Forse la proprietà più notevole della distribuzione esponenziale è l'assenza di memoria. Questo significa che la probabilità di un certo evento in un intervallo di tempo futuro non dipende dal passato.

In termini matematici, se X è una variabile aleatoria esponenziale, allora per ogni s e t non negativi, P(X > s + t | X > s) = P(X > t). In parole povere, la distribuzione "non ricorda" il passato. Questa è una proprietà che condivide solo con la distribuzione geometrica tra le distribuzioni di probabilità.

Stabilità sotto scala

Una proprietà importante della distribuzione esponenziale è la sua stabilità sotto scala. Questo significa che se una variabile aleatoria segue una distribuzione esponenziale, allora anche una sua trasformazione lineare seguirà la stessa distribuzione. Matematicamente, se X è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ, allora la variabile aleatoria Y = bX è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ/b.

Legge di potenza

Un'altra proprietà caratteristica della distribuzione esponenziale è la legge di potenza. Questa legge indica che, pur essendo la probabilità di eventi rari molto piccola, essa non è insignificante. Matematicamente, questo si traduce nel fatto che la probabilità di un evento con un valore molto alto di x diminuisce esponenzialmente con x.

Relazione con altre distribuzioni

La distribuzione esponenziale ha una stretta relazione con altre distribuzioni note, come quella binomiale. Ad esempio, quando il numero di prove in una distribuzione binomiale di parametri diventa grande, le distribuzioni delle differenze tra i successi e i fallimenti possono essere approssimata da una esponenziale.

Relazioni della distribuzione esponenziale

Relazione della Esponenziale con la Poisson

La variabile casuale di Poisson indica il numero medio di eventi che accadono in un arco temporale. La relazione con l'esponenziale sta nel fatto che quest'ultima è praticamente il reciproco dell'altra, mostrando il tempo che intercorre tra un evento e il suo successivo. Te lo spiego con un esempio molto semplice.

Se in 60 minuti ti arrivano 4 chiamate sul cellulare, significa che le chiamate in arrivo hanno una distribuzione di Poisson di parametro 𝜆 = 4.

Puoi però vedere il problema da un altro punto di vista e cioè che ricevi 1 chiamata ogni 15 minuti (60 / 4). Di conseguenza sei di fronte ha una distribuzione esponenziale di parametro Ɵ = 1/4

Se hai qualche dubbio sulla distribuzione di Poisson non ti preoccupare perché ho realizzato un video, con l'aiuto della calcolatrice scientifica SHARP, che ti permetterà di svolgere un'esercizio in modo semplice e veloce.

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Esercizio svolto sulla distribuzione di Poisson con la calcolatrice

Approssimazione della esponenziale alla Normale

Con un grande numero di eventi, la distribuzione esponenziale può essere approssimata con la distribuzione normale, utilizzando il teorema del limite centrale. Questa approssimazione è spesso utilizzata in pratica quando si dispone di un grande numero di dati.

Non poteva mancare il video anche sulla distribuzione normale con l'utilizzo della calcolatrice SHARP.

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Esercizio svolto sulla distribuzione normale con la calcolatrice

Distribuzione esponenziale Excel

DISTRIB.EXP.N (x, lambda, cumulativo)

Distribuzione esponenziale SPSS

Non esiste un comando specifico.

Riassumendo

  • Questa distribuzione ha molte proprietà interessanti, tra cui la legge di potenza (la probabilità di eventi rari diminuisce esponenzialmente, ma non è insignificante) e la stabilità sotto scala (la trasformazione lineare di una variabile aleatoria esponenziale segue la stessa distribuzione).
  • La distribuzione esponenziale ha una stretta relazione con altre distribuzioni, come la distribuzione binomiale e può essere utilizzata per approssimare queste distribuzioni in certe circostanze.
  • Quando il numero di eventi è grande e la probabilità di successo è piccola, la distribuzione esponenziale può essere approssimata con la distribuzione di Poisson. Con un grande numero di eventi, può anche essere approssimata con la distribuzione normale.
  • Excel consente di calcolare la probabilità, la funzione di densità, la funzione di ripartizione, e altri parametri della distribuzione esponenziale.

"Conoscere le statistiche non ti rende più intelligente, ma ti consente di evitare molte stupidaggini" - Charles Wheelan

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