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La distribuzione esponenziale è una variabile casuale continua che descrive il tempo che intercorre tra due eventi successivi, che si verificano in modo continuo e indipendente a un tasso costante medio.
La variabile aleatoria esponenziale viene utilizzata in molti settori, vediamone alcuni:
Ingegneria: per modellare il tempo tra guasti in un sistema che si deteriora nel tempo, come un componente di un'automobile o un dispositivo elettronico.
Fisica e biologia: per descrivere il tasso di decadimento di un elemento radioattivo o il tempo tra eventi di un processo di Poisson, come il tempo tra i salti di un neurone.
Economia e finanza: per modellare il tempo tra eventi come le richieste di assicurazione o le fluttuazioni di prezzo nel trading di titoli.
Informatica: per modellare il tempo tra richieste in un server web o il tempo tra arrivi di pacchetti in una rete.
Scienze sociali: per modellare il tempo tra chiamate in un call center o il tempo tra tweet su un argomento di tendenza.
Prima di tutto definiamo i valori dei parametri della variabile casuale esponenziale, che sono:
X = variabile casuale di interesse, rappresentata da un valore positivo (x ≥ 0)
e = numero di Eulero (o di Nepero), che ha valore di circa 2.71828
Ɵ = parametro di forma, che mostra la "pesantezza" della coda della distribuzione (Ɵ > 0)
Come detto all'inizio, la distribuzione esponenziale è una variabile casuale continua, per cui non ha tanto senso conoscere la probabilità in un punto specifico.
Questo concetto lo già espresso in un altro articolo in cui ti parlavo della distribuzione di Pareto, anch'essa continua,
Per le variabili continue ha più senso calcolare la funzione di ripartizione. Detto questo dobbiamo comunque passare per la funzione di densità di probabilità che ti ricordo nelle variabili casuali discrete chiamiamo funzione di massa di probabilità.
La funzione di densità di probabilità (PDF) deve essere positiva e integrabile su tutto il dominio della variabile aleatoria, quindi è valida solo per x ≥ 0.
La funzione di ripartizione è un altro componente essenziale di una distribuzione di probabilità. Questa funzione descrive la probabilità p che una variabile casuale X sia minore o uguale a un certo valore x.
\(\displaystyle P(X \leq x) = 1 - e^{-\theta x} \)
Una volta identificato il parametro di forma Ɵ, il calcolo della probabilità risulta abbastanza semplice da trovare.
Ricorda che anche questa formula è valida solo per x ≥ 0.
Nella distribuzione esponenziale, media, varianza e mediana dipendono tutti dal parametro Ɵ.
La media è l'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:
\(\displaystyle E(X) = \frac{1}{\theta} \)
La varianza è il quadrato dell'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:
\(\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{1}{\theta^2} \)
Se hai dubbi sulla varianza guarda questo mio video in cui te la spiego in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica.
La mediana si calcola come segue:
\(\displaystyle \text{Med}(X) = \frac{\ln 2}{\theta} \)
Il tempo di attesa per un nuovo ordine in un magazzino si distribuisce secondo una distribuzione esponenziale con media \(4\) minuti.
Calcolare la probabilità che passino meno di \(3\) minuti tra un ordine ed un altro.
Passo 1: Ricavare il parametro \(\theta\)
Nella distribuzione esponenziale, il valore atteso è dato dalla formula:
\[
\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\theta}
\]
Sostituendo la media fornita nel testo:
\[
4 = \frac{1}{\theta}
\]
\[
\theta = \frac{1}{4} = 0.25
\]
Passo 2: Calcolo della probabilità richiesta
La funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale è:
\[
P(X \leq x) = 1 - e^{-\theta x}
\]
Sostituendo i valori \(\theta = 0.25\) e \(x = 3\):
\[
P(X \leq 3) = 1 - e^{-0.25 \cdot 3}
\]
\[
= 1 - e^{-0.75}
\]
Utilizzando il valore approssimato:
\[
e^{-0.75} \approx 0.4724
\]
\[
P(X \leq 3) = 1 - 0.4724
\]
\[
P(X \leq 3) \approx 0.5276
\]
Forse la proprietà più notevole della distribuzione esponenziale è l'assenza di memoria. Questo significa che la probabilità di un certo evento in un intervallo di tempo futuro non dipende dal passato.
In termini matematici, se X è una variabile aleatoria esponenziale, allora per ogni s e t non negativi, P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
In parole povere, la distribuzione "non ricorda" il passato. Questa è una proprietà che condivide solo con la distribuzione geometrica tra le distribuzioni di probabilità.
Una proprietà importante della distribuzione esponenziale è la sua stabilità sotto scala. Questo significa che se una variabile aleatoria segue una distribuzione esponenziale, allora anche una sua trasformazione lineare seguirà la stessa distribuzione.
Matematicamente, se X è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ, allora la variabile aleatoria Y = bX è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ/b.
Un'altra caratteristica della distribuzione esponenziale è la legge di potenza. Questa legge indica che, pur essendo la probabilità di eventi rari molto piccola, essa non è insignificante.
Matematicamente, questo si traduce nel fatto che la probabilità di un evento con un valore molto alto di x diminuisce esponenzialmente con x.
La variabile casuale di Poisson indica il numero medio di eventi che accadono in un arco temporale.
La relazione con l'esponenziale sta nel fatto che quest'ultima è il reciproco dell'altra, quindi ti mostra il tempo che intercorre tra un evento e il suo successivo. Te lo spiego con un esempio.
Se in 60 minuti ti arrivano 4 chiamate sul cellulare, significa che le chiamate in arrivo hanno una distribuzione di Poisson di parametro 𝜆 = 4.
Puoi però vedere il problema da un altro punto di vista e cioè che ricevi 1 chiamata ogni 15 minuti (60 / 4). Di conseguenza sei di fronte ha una distribuzione esponenziale di parametro Ɵ = 1/4
Se hai qualche dubbio sulla distribuzione di Poisson non ti preoccupare perché ho realizzato due video che ti possono servire per la comprensione e il calcolo.
Nel primo ti spiego il concetto con una metafora statistica mentre nel secondo, con l'aiuto della calcolatrice scientifica SHARP, svolgo un'esercizio in modo semplice e veloce.
Con un grande numero di eventi, la distribuzione esponenziale può essere approssimata alla distribuzione normale, utilizzando il teorema del limite centrale.
Questa approssimazione è spesso utilizzata in pratica quando si dispone di un grande numero di dati. Anche qui ti metto i due video per la variabile casuale normale
DISTRIB.EXP.N (x, lambda, cumulativo)
Non esiste un comando specifico.
"Conoscere le statistiche non ti rende più intelligente, ma ti consente di evitare molte stupidaggini" - Charles Wheelan
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