La distribuzione esponenziale è un modello che descrive il tempo che intercorre tra due eventi successivi, che si verificano in modo continuo e indipendente a un tasso costante medio.
La variabile aleatoria esponenziale viene utilizzata nei seguenti casi:
Prima di tutto devi definire i valori dei parametri della variabile casuale esponenziale, che sono:
x = variabile casuale di interesse, rappresentata da un valore positivo (x ≥ 0)
e = numero di Eulero (o di Nepero), che ha valore di circa 2.71828
Ɵ = parametro di forma, che mostra la "pesantezza" della coda della distribuzione (Ɵ > 0)
La funzione di densità di probabilità è una funzione che descrive la probabilità relativa che una variabile X prenda un determinato valore x. Ti ricordo però che in una variabile casuale continua, come l'esponenziale, non ha senso calcolare la probabilità in un punto, ma bensì in un'area utilizzando la funzione di ripartizione.
In ogni caso la funzione di densità di probabilità della distribuzione esponenziale ha questa forma:
Inserisci il valore x di cui vuoi calcolare la probabilità
Moltiplica x per il valore del parametro Ɵ
Eleva il valore di e al risultato ottenuto prima, ma col segno negativo (-Ɵx).
Quindi esegui la seguente operazione :
Ricorda che questa formula è valida solo per x ≥ 0.
La funzione di ripartizione è un altro componente essenziale di una distribuzione di probabilità. Questa funzione descrive la probabilità p che una variabile casuale X sia minore o uguale a un certo valore x.
Identifica e sostituisci i valori di nella formula.
Moltiplica x per il valore del parametro Ɵ
Eleva al risultato ottenuto al secondo passaggio col segno negativo (-Ɵx) il valore di e.
Sottrai il risultato del passo precedente da 1.
Ricorda che anche questa formula è valida solo per x ≥ 0.
Nella distribuzione esponenziale, media, varianza e mediana dipendono tutti dal parametro Ɵ.
La media è l'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:
La varianza è il quadrato dell'inverso del parametro di tasso Ɵ e si calcola come segue:
Se hai dubbi sulla varianza guarda questo mio video in cui te la spiego in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica.
La mediana si calcola come segue:
Forse la proprietà più notevole della distribuzione esponenziale è l'assenza di memoria. Questo significa che la probabilità di un certo evento in un intervallo di tempo futuro non dipende dal passato.
In termini matematici, se X è una variabile aleatoria esponenziale, allora per ogni s e t non negativi, P(X > s + t | X > s) = P(X > t). In parole povere, la distribuzione "non ricorda" il passato. Questa è una proprietà che condivide solo con la distribuzione geometrica tra le distribuzioni di probabilità.
Una proprietà importante della distribuzione esponenziale è la sua stabilità sotto scala. Questo significa che se una variabile aleatoria segue una distribuzione esponenziale, allora anche una sua trasformazione lineare seguirà la stessa distribuzione. Matematicamente, se X è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ, allora la variabile aleatoria Y = bX è una variabile aleatoria esponenziale con parametro di tasso Ɵ/b.
Un'altra proprietà caratteristica della distribuzione esponenziale è la legge di potenza. Questa legge indica che, pur essendo la probabilità di eventi rari molto piccola, essa non è insignificante. Matematicamente, questo si traduce nel fatto che la probabilità di un evento con un valore molto alto di x diminuisce esponenzialmente con x.
La distribuzione esponenziale ha una stretta relazione con altre distribuzioni note, come quella binomiale. Ad esempio, quando il numero di prove in una distribuzione binomiale di parametri diventa grande, le distribuzioni delle differenze tra i successi e i fallimenti possono essere approssimata da una esponenziale.
La variabile casuale di Poisson indica il numero medio di eventi che accadono in un arco temporale. La relazione con l'esponenziale sta nel fatto che quest'ultima è praticamente il reciproco dell'altra, mostrando il tempo che intercorre tra un evento e il suo successivo. Te lo spiego con un esempio molto semplice.
Se in 60 minuti ti arrivano 4 chiamate sul cellulare, significa che le chiamate in arrivo hanno una distribuzione di Poisson di parametro 𝜆 = 4.
Puoi però vedere il problema da un altro punto di vista e cioè che ricevi 1 chiamata ogni 15 minuti (60 / 4). Di conseguenza sei di fronte ha una distribuzione esponenziale di parametro Ɵ = 1/4
Se hai qualche dubbio sulla distribuzione di Poisson non ti preoccupare perché ho realizzato un video, con l'aiuto della calcolatrice scientifica SHARP, che ti permetterà di svolgere un'esercizio in modo semplice e veloce.
Con un grande numero di eventi, la distribuzione esponenziale può essere approssimata con la distribuzione normale, utilizzando il teorema del limite centrale. Questa approssimazione è spesso utilizzata in pratica quando si dispone di un grande numero di dati.
Non poteva mancare il video anche sulla distribuzione normale con l'utilizzo della calcolatrice SHARP.
DISTRIB.EXP.N (x, lambda, cumulativo)
Non esiste un comando specifico.
"Conoscere le statistiche non ti rende più intelligente, ma ti consente di evitare molte stupidaggini" - Charles Wheelan