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Il calcolo delle probabilità: come farlo e quali regole seguire

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Postato il 22 Luglio 2022
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Le probabilità sono uno di quei concetti che studiamo a scuola e poi, effettivamente, ritroviamo ogni giorno nella nostra vita: quanto è probabile che una squadra X vinca il campionato, o che un politico venga eletto, o che io acquisti il biglietto vincente al Superenalotto. Certo, la maggior parte delle volte non la calcoliamo veramente, ci limitiamo a darne un’idea approssimata oppure ci affidiamo ai valori calcolati da altri, come l'ISTAT o il WHO, ma in ogni caso ne siamo circondati.

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La definizione di probabilità

Partiamo dalla definizione classica di probabilità: la probabilità (P) è un numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado d'incertezza sul verificarsi di un evento.

Come si fa il calcolo della probabilità?

Questo calcolo ci viene insegnato già da piccoli, appena cominciato la scuola. Ma come si fa a spiegarla alla scuola primaria? Semplice: con gli esempi. E il bello degli esempi è che, se sono fatti bene, sono comprensibili ad ogni età!

Prendiamo un vaso con 20 palline al suo interno. Se 5 di queste sono rosse, quanto è probabile che io peschi una pallina rossa?

Ecco, questo è un tipico problema che sicuramente avrai visto alle elementari. E come si fa a risolverlo? Molto semplice: dividendo il numero dei casi favorevoli (quindi le 5 palline rosse) per il numero totale dei casi possibili (tutte le 20 palline). 

Risultato? Si avrà una probabilità dello 0,25 di pescare una pallina rossa!

Ovviamente questo è un esercizio molto semplice, risolvere questi problemi non è sempre così immediato. Vediamo di capire cosa dobbiamo sapere prima di approcciarci a questo calcolo.

Evento compatibili ed eventi incompatibili

La prima domanda che devi farti è: i due eventi che sto andando ad analizzare tra di loro sono compatibili o incompatibili? Cioè, il primo evento e il secondo evento possono accadere nello stesso momento oppure no? 

Vediamo due esempi di entrambi le situazioni.

Quando gli eventi sono compatibili

probabilità

Diciamo che, pescando a caso da un mazzo di carte, io voglia sapere quanto è probabile estrarre una Regina (primo evento) o una carta di Cuori (secondo evento). Poiché esiste la Regina di Cuori, questi eventi sono compatibili, perché possono accadere contemporaneamente.
Gli eventi compatibili sono alla base del teorema della probabilità composta.

Quando gli eventi sono incompatibili

probabilità

Immaginiamo di dover lanciare un dado, e di voler sapere la probabilità che esca un numero pari o un numero dispari. In questo caso, gli eventi sono incompatibili perché, chiaramente, il numero che uscirà non potrà essere contemporaneamente sia pari che dispari.

Calcolare la probabilità con eventi compatibili

Vediamo ora i passaggi da seguire per calcolare la probabilità che in un mazzo di 52 carte, tu possa pescare una Regina O una carta di Cuori.

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Calcola il valore per il primo evento, una regina.

Nel nostro esempio, su 52 carte le Regine sono 4, quindi sarà:

P ( Regina ) = 4/52 = 0,0769 = 7,69%

Calcola il valore per il secondo evento, una carta di cuori

Su 52 carte totali, inoltre, 13 sono di Cuori, quindi sará:

P ( Carta di cuori ) = 13/52 = 0,25 = 25%

Somma i due risultati ottenuti e togli la loro intersezione

Questo passaggio è molto importante, perché se non lo fai avrai calcolato due volte la Regina di Cuori!

Per concludere, qual è la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 52, questa sia una Regina O una carta di Cuori?
P ( Regina U Carta di cuori ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,3077 = 30,77%

Calcolare la probabilità con eventi incompatibili

Quando invece gli eventi sono incompatibili, i passaggi sono gli stessi, tranne l’ultimo. In sostanza devi sommare le probabilità.

Riprendendo il nostro esempio dei dadi, se abbiamo 6 facce, 3 di queste saranno pari e 3 dispari, allora la probabilità che, lanciando il dado, esca un numero pari O dispari sarà:

P ( Pari U Dispari ) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1, banalmente il 100% dei casi favorevoli.

Eventi dipendenti ed eventi indipendenti

Una volta stabilito se i due eventi sono compatibili o incompatibili, devi chiederti se sono dipendenti o indipendenti. Cioè, se al variare del primo evento allora varierà anche il secondo oppure se sono tra loro scollegati, e quindi il variare di uno non incida sull’altro.

Quando gli eventi sono dipendenti

Probabilità

Riprendiamo l’esempio iniziale, quello delle 20 palline nel vaso. Supponiamo di voler calcolare quanto è probabile che io peschi prima una pallina rossa e poi una pallina di un altro colore, senza però aver rimesso dentro la prima pallina.

Il primo evento andrà quindi a incidere sul secondo, perché il totale delle palline passerà da 20 a 19, cambiando il rapporto tra i due numeri. 
In questo caso, la situazione di cui stiamo parlando è quella della probabilità condizionata, che dà le basi poi per formulare il teorema di Bayes.

Se vuoi capire il concetto del teorema di Bayes ho creato un video in cui te lo spiego facilmente.

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Il teorema di Bayes spiegato semplice con una metafora

Quando gli eventi sono indipendenti

probabilità

Per capire gli eventi indipendenti, invece, prova a pensare al lancio di una moneta. Al primo lancio la probabilità che esca testa, o croce, è del 50%. Immagina che dal lancio effettuato esca testa.

Quanto è probabile che esca di nuovo testa, visto che al lancio precedente è uscito testa? Ancora il 50% perchè il primo risultato NON incide sul secondo visto che i due eventi sono indipendenti.

Calcolare la probabilità con eventi dipendenti

Per ottenere questo risultato devi moltiplicare la probabilità che il primo evento si verifichi con quella che il secondo evento accada, dopo che si è verificato il primo.

Vediamo i passaggi per calcolare la probabilità che nelle due estrazioni, la prima pallina sia rossa mentre la seconda di un altro colore.

Ricorda che una volta pescata la prima pallina, la stessa non viene rimessa nell'urna ed è per questo che i due eventi sono dipendenti.

Calcola il valore per il primo evento, pallina rossa.

Nell’esempio delle palline, avevamo detto che quelle rosse sono 5 su un totale di 20. Quindi sarà:

P ( Prima pallina rossa ) = 5/20 = 0,25 = 25%

analisi dati tesi

Calcola il valore per il secondo evento, pallina non rossa.

Qui devi fare attenzione: visto che questo evento accadrà dopo il primo, e che non avremo rimesso la pallina nel vaso, il numero passerà da 20 a 19. Quindi sarà:

P ( Seconda pallina non rossa ) = 15/19 = 0,7895 = 78,95%

Moltiplica il primo valore con il secondo

A questo punto, moltiplica i due numeri e otterrai il risultato, quindi: 

P ( 1° Rossa U 2° non Rossa ) = 5/20 x 15/19 = 75/380 = 0,1974 = 19,74%

Calcolare la probabilità con eventi indipendenti

Riprendiamo l’esempio della moneta e calcoliamo quanto è probabile che esca due volte di seguito testa. Nel primo caso, come abbiamo detto, è 1/2 , così come nel secondo, perché non sono relazionati l’uno con l’altro.
Dovremo quindi semplicemente moltiplicare la prima probabilità con la seconda, e avremo: 

P ( 1° Testa U 2° Testa ) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%

Quali sono i tipi di probabilità?

Passiamo ora ai differenti tipi di probabilità, partendo dalla differenza tra la probabilità classica e la probabilità frequentista

Cosa sono la probabilità classica e la probabilità frequentista

Con concezione classica si intende un approccio che stabilisce a priori la probabilità che accada un determinato evento, data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli al realizzarsi dell’evento e il numero di casi possibili, e partendo dall’assioma che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili.

Prendiamo di nuovo l’esempio di testa o croce: secondo la concezione classica io so a priori che avrò il 50% di probabilità che esca testa e altrettanto che esca croce. 

L'idea classica si basa sul concetto che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili (come nel caso della moneta): eppure, questo ovviamente non può essere sempre vero.

Per questo la concezione frequentista segue un altro approccio, che potremmo definire basato sui grandi numeri: poichè non stabilisco a priori la probabilità, la ricaverò effettuando un numero di prove tendente all'infinito (tutte fatte nelle stesse condizioni).

La frequenza relativa dei successi, cioè il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale dei dati, tenderà al valore teorico della probabilità.

Quindi non dirò a priori che, lanciando una moneta, la probabilità che esca testa è ½, ma, dopo un numero di lanci tendente a infinito, dirò che la frequenza relativa tende ad ½, e quindi dirò che è il valore teorico della probabilità che sto calcolando.

La teoria assiomatica

Vediamo, infine, la teoria assiomatica, cioè i tre assiomi fondamentali, le regole base da conosceree e seguire sempre prima di approcciarsi a questo argomento.

Queste proprietà assiomatiche sono:

  1. La probabilità di A è un numero reale non negativo.
    P (A) ≥ 0
  2. La probabilità dell’evento certo è uguale a 1 (se sommo tutti i casi possibili dell’evento il risultato deve essere 1).
    P (Ω) = 1
  3. Per ogni coppia di eventi incompatibili A e B, in simboli P (A ∩ B), la probabilità dell’evento unione P (A ∪ B) è uguale alla somma delle loro probabilità.
    P (A ∪ B) = P (A) + P (B) con P (A ∩ B) = Ø

Ora che abbiamo delineato non solo le proprietà ma anche le metodologie di calcolo della probabilità, puoi approcciarti ai diversi problemi in modo più tranquillo. Come abbiamo detto all'inizio però, questi esempi che ti ho mostrato sono di facile soluzione, ma non saranno, ovviamente, tutti così!


Per questo ti invito a dare un'occhiata al mio video corso di statistica, in cui ho dedicato un modulo proprio alla probabilità e a come capire e affrontare gli esercizi legati a questo argomento.

Il calcolo delle probabilità EXCEL

Non c’è un comando

Il calcolo delle probabilità SPSS

Non c’è un comando

Riassumendo

  1. La probabilità (P) è un numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado d'incertezza sul verificarsi di un evento.
  2. Prima di calcolarla è bene capire se gli eventi che stiamo analizzando sono compatibili o incompatibili, dipendenti o indipendenti.
  3. Ne esistono differenti tipi, tra cui la corrente classica e quella frequentista, che per calcolarla seguono un approccio a priori e uno o a posteriori (o basato sulla legge dei grandi numeri).
  4. Alla base del suo calcolo c’è la teoria assiomatica, che postula le regole base che devono sempre essere vere quando si vuole calcolare le probabilità.

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