La probabilità è ovunque.
Pensaci:
Ma soprattutto, quante probabilità hai di superare il tuo esame di statistica con ottimi voti?
Alte, se deciderai di scaricare e studiare la mia guida gratuita. Tra le altre cose, al suo interno trovi anche questo:
Partiamo dalla definizione classica di probabilità: la probabilità (P) è un numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado d'incertezza sul verificarsi di un evento.
Questo calcolo ci viene insegnato già da piccoli, appena cominciato la scuola. Ma come si fa a spiegarla alla scuola primaria? Semplice: con gli esempi. E il bello degli esempi è che, se sono fatti bene, sono comprensibili ad ogni età!
Prendiamo un vaso con 20 palline al suo interno. Se 5 di queste sono rosse, quanto è probabile che io peschi una pallina rossa?
Ecco, questo è un tipico problema che sicuramente avrai visto alle elementari. E come si fa a risolverlo? Molto semplice: dividendo il numero dei casi favorevoli (quindi le 5 palline rosse) per il numero totale dei casi possibili (tutte le 20 palline).
Risultato? Si avrà una probabilità dello 0,25 di pescare una pallina rossa!
Ovviamente questo è un esercizio molto semplice, risolvere questi problemi non è sempre così immediato. Vediamo di capire cosa dobbiamo sapere prima di approcciarci a questo calcolo.
La prima domanda che devi farti è: i due eventi che sto andando ad analizzare tra di loro sono compatibili o incompatibili? Cioè, il primo evento e il secondo evento possono accadere nello stesso momento oppure no?
Vediamo due esempi di entrambi le situazioni.
Diciamo che, pescando a caso da un mazzo di carte, io voglia sapere quanto è probabile estrarre una Regina (primo evento) o una carta di Cuori (secondo evento). Poiché esiste la Regina di Cuori, questi eventi sono compatibili, perché possono accadere contemporaneamente.
Gli eventi compatibili sono alla base del teorema della probabilità composta.
Immaginiamo di dover lanciare un dado, e di voler sapere la probabilità che esca un numero pari o un numero dispari. In questo caso, gli eventi sono incompatibili perché, chiaramente, il numero che uscirà non potrà essere contemporaneamente sia pari che dispari.
Vediamo ora i passaggi da seguire per calcolare la probabilità che in un mazzo di 52 carte, tu possa pescare una Regina O una carta di Cuori.
Nel nostro esempio, su 52 carte le Regine sono 4, quindi sarà:
P ( Regina ) = 4/52 = 0,0769 = 7,69%
Su 52 carte totali, inoltre, 13 sono di Cuori, quindi sará:
P ( Carta di cuori ) = 13/52 = 0,25 = 25%
Questo passaggio è molto importante, perché se non lo fai avrai calcolato due volte la Regina di Cuori!
Per concludere, qual è la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 52, questa sia una Regina O una carta di Cuori?
P ( Regina U Carta di cuori ) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,3077 = 30,77%
Quando invece gli eventi sono incompatibili, i passaggi sono gli stessi, tranne l’ultimo. In sostanza devi sommare le probabilità.
Riprendendo il nostro esempio dei dadi, se abbiamo 6 facce, 3 di queste saranno pari e 3 dispari, allora la probabilità che, lanciando il dado, esca un numero pari O dispari sarà:
P ( Pari U Dispari ) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1, banalmente il 100% dei casi favorevoli.
Una volta stabilito se i due eventi sono compatibili o incompatibili, devi chiederti se sono dipendenti o indipendenti. Cioè, se al variare del primo evento allora varierà anche il secondo oppure se sono tra loro scollegati, e quindi il variare di uno non incida sull’altro.
Riprendiamo l’esempio iniziale, quello delle 20 palline nel vaso. Supponiamo di voler calcolare quanto è probabile che io peschi prima una pallina rossa e poi una pallina di un altro colore, senza però aver rimesso dentro la prima pallina.
Il primo evento andrà quindi a incidere sul secondo, perché il totale delle palline passerà da 20 a 19, cambiando il rapporto tra i due numeri.
In questo caso, la situazione di cui stiamo parlando è quella della probabilità condizionata, che dà le basi poi per formulare il teorema di Bayes.
Se vuoi capire il concetto del teorema di Bayes ho creato un video in cui te lo spiego facilmente.
Per capire gli eventi indipendenti, invece, prova a pensare al lancio di una moneta. Al primo lancio la probabilità che esca testa, o croce, è del 50%. Immagina che dal lancio effettuato esca testa.
Quanto è probabile che esca di nuovo testa, visto che al lancio precedente è uscito testa? Ancora il 50% perchè il primo risultato NON incide sul secondo visto che i due eventi sono indipendenti.
Per ottenere questo risultato devi moltiplicare la probabilità che il primo evento si verifichi con quella che il secondo evento accada, dopo che si è verificato il primo.
Vediamo i passaggi per calcolare la probabilità che nelle due estrazioni, la prima pallina sia rossa mentre la seconda di un altro colore.
Ricorda che una volta pescata la prima pallina, la stessa non viene rimessa nell'urna ed è per questo che i due eventi sono dipendenti.
Nell’esempio delle palline, avevamo detto che quelle rosse sono 5 su un totale di 20. Quindi sarà:
P ( Prima pallina rossa ) = 5/20 = 0,25 = 25%
Qui devi fare attenzione: visto che questo evento accadrà dopo il primo, e che non avremo rimesso la pallina nel vaso, il numero passerà da 20 a 19. Quindi sarà:
P ( Seconda pallina non rossa ) = 15/19 = 0,7895 = 78,95%
A questo punto, moltiplica i due numeri e otterrai il risultato, quindi:
P ( 1° Rossa U 2° non Rossa ) = 5/20 x 15/19 = 75/380 = 0,1974 = 19,74%
Riprendiamo l’esempio della moneta e calcoliamo quanto è probabile che esca due volte di seguito testa. Nel primo caso, come abbiamo detto, è 1/2 , così come nel secondo, perché non sono relazionati l’uno con l’altro.
Dovremo quindi semplicemente moltiplicare la prima probabilità con la seconda, e avremo:
P ( 1° Testa U 2° Testa ) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%
Passiamo ora ai differenti tipi di probabilità, partendo dalla differenza tra la probabilità classica e la probabilità frequentista.
Con concezione classica si intende un approccio che stabilisce a priori la probabilità che accada un determinato evento, data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli al realizzarsi dell’evento e il numero di casi possibili, e partendo dall’assioma che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili.
Prendiamo di nuovo l’esempio di testa o croce: secondo la concezione classica io so a priori che avrò il 50% di probabilità che esca testa e altrettanto che esca croce.
L'idea classica si basa sul concetto che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili (come nel caso della moneta): eppure, questo ovviamente non può essere sempre vero.
Per questo la concezione frequentista segue un altro approccio, che potremmo definire basato sui grandi numeri: poichè non stabilisco a priori la probabilità, la ricaverò effettuando un numero di prove tendente all'infinito (tutte fatte nelle stesse condizioni).
La frequenza relativa dei successi, cioè il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale dei dati, tenderà al valore teorico della probabilità.
Quindi non dirò a priori che, lanciando una moneta, la probabilità che esca testa è ½, ma, dopo un numero di lanci tendente a infinito, dirò che la frequenza relativa tende ad ½, e quindi dirò che è il valore teorico della probabilità che sto calcolando.
Vediamo, infine, la teoria assiomatica, cioè i tre assiomi fondamentali, le regole base da conoscere e seguire sempre prima di approcciarsi a questo argomento.
Formulati dal matematico sovietico Andrey Kolmogorov nel XX secolo, gli assiomi costituiscono la base su cui è costruita tutta la teoria della probabilità moderna. Questi principi stabiliscono le regole per il suo calcolo in qualsiasi contesto.
Il primo assioma stabilisce che la probabilità di qualsiasi evento è sempre un numero maggiore o uguale a zero. In termini matematici, per qualsiasi evento A, abbiamo
P(A) ≥ 0
Questo assioma riflette il concetto che non può esistere una probabilità negativa, coerente con l'idea di probabilità come misura di certezza o possibilità che un evento si verifichi.
Il secondo assioma afferma che la probabilità di tutti gli esiti possibili di un esperimento, è 1. Matematicamente, se Ω (omega) rappresenta l'evento certo, allora
P (Ω) = 1
Questo assioma implica che quando si considerano tutti i possibili esiti di un esperimento, la certezza che uno di questi esiti si verifichi è totale.
Il terzo assioma riguarda gli eventi incompatibili (mutuamente esclusivi).
Per ogni coppia di eventi incompatibili A e B, cioè eventi che non possono verificarsi contemporaneamente [ P ( A ∩ B ) = 0 ], la probabilità dell'evento unione P ( A ∪ B ) è uguale alla somma delle loro probabilità.
Matematicamente, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).
Ora che abbiamo delineato non solo le proprietà ma anche le metodologie di calcolo della probabilità, puoi approcciarti ai diversi problemi in modo più tranquillo. Come abbiamo detto all'inizio però, questi esempi che ti ho mostrato sono di facile soluzione, ma non saranno, ovviamente, tutti così!
Per questo ti invito a dare un'occhiata al mio video corso di statistica, in cui ho dedicato un modulo proprio alla probabilità e a come capire e affrontare gli esercizi legati a questo argomento.
Non c’è un comando
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Capitan Barbossa: "Non è possibile!"
Pirati dei Caraibi - La maledizione della prima luna
Capitan Jack Sparrow: "Non è probabile...”
