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La probabilità è uno degli argomenti più difficili che uno studente possa imparare, o forse che un docente possa insegnare.
Dopo anni che tratto questo argomento, ho constatato che nonostante le formule siano abbastanza "semplici" da ricordare, quello che risulta difficile per uno studente è capire il ragionamento che c'è dietro.
Detto questo ti invito di scaricare la mia guida gratuita su "come superare un esame di statistica", dove oltre a tutti i consigli su metodo, organizzazione e molto altro, trovi un formulario dettagliato anche su questo argomento.
Partiamo dalla definizione classica: la probabilità (P) è un numero compreso tra 0 e 1 che misura il grado d'incertezza sul verificarsi di un evento.
Questo calcolo ci viene insegnato fin da piccoli, ma come si fa a spiegarla a un bambino delle elementari? Con un esempio semplice!
Prendiamo un vaso con 20 palline al suo interno. Se 5 di queste sono rosse, quanto è probabile che io peschi una pallina rossa?
Ecco, questo è un tipico problema che sicuramente avrai visto alle elementari, o all'università, e come fai risolverlo?
Molto semplice: dividendo il numero dei casi favorevoli (quindi le 5 palline rosse) per il numero totale dei casi possibili (tutte le 20 palline).
P ( Rossa ) = 5 / 20 = 0,25 = 25%
Si avrà una probabilità dello 0,25 di pescare una pallina rossa o se lo vogliamo tradurre in termini un po' più reali, del 25%
Ovviamente questo è un esercizio molto facile, ma risolvere questi problemi non è sempre così immediato. Vediamo di capire cosa dobbiamo sapere prima di approcciarci a questo calcolo.
All'interno di un esame universitario capita spesso di imbattersi in domande o calcoli che abbiano a che fare con la determinazione di eventi compatibili o incompatibili. Ma cosa significa?
Il concetto statistico è uguale a quello che trovi nella vita reale se per esempio pensi che una persona sia incompatibile con te: vuol dire che proprio non c'entra niente!
Supponiamo che, pescando a caso da un mazzo di carte, io voglia sapere quanto è probabile estrarre una Regina (primo evento) o una carta di Cuori (secondo evento).
Poiché esiste la Regina di Cuori, questi eventi sono compatibili, perché possono accadere contemporaneamente. Gli eventi compatibili sono alla base del teorema della probabilità composta.
Vediamo ora i passaggi da seguire per calcolare la probabilità che in un mazzo di 52 carte, tu possa pescare una Regina O una carta di Cuori.
Nel nostro esempio, su 52 carte le Regine sono 4, quindi sarà:
P ( Regina ) = 4/52 = 0,0769 = 7,69%
Su 52 carte totali, inoltre, 13 sono di Cuori, quindi sará:
P ( Carta di cuori ) = 13/52 = 0,25 = 25%
Questo passaggio è molto importante, perché se non lo fai avrai calcolato due volte la Regina di Cuori!
P ( Regina U Carta di cuori ) =
= P ( Regina ) + P ( Cuori ) - P ( Regina ∩ Cuori ) =
= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,3077 = 30,77%
Questo è uno dei calcoli più importanti per l'unione di due eventi.
Immaginiamo di dover lanciare un dado, e di voler sapere la probabilità che esca un numero pari o un numero dispari.
Questa situazione è impossibile perché in questo caso, gli eventi sono incompatibili in quanto il numero che uscirà non potrà essere contemporaneamente sia pari che dispari.
Quando invece gli eventi sono incompatibili, i passaggi sono gli stessi, tranne l’ultimo. In sostanza devi sommare le probabilità.
Riprendendo il nostro esempio dei dadi, se abbiamo 6 facce, 3 di queste saranno pari e 3 dispari, allora la probabilità che, lanciando il dado, esca un numero pari O dispari sarà:
P ( Pari U Dispari ) = P ( Pari ) + P ( Dispari )
= 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1, banalmente il 100% dei casi.
Anche con l'esempio delle carte volendo puoi avere una situazione del genere. Immagina di voler calcolare la possibilità di estrarre un Asso o una Regina i quali risulterebbe due eventi incompatibili.
P ( Asso U Regina ) = P ( Asso ) + P ( Regina )
= 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0,1538 = 15,38%
Una volta compreso se i due eventi sono compatibili o incompatibili, devi conoscere anche il significato di eventi dipendenti o indipendenti.
In poche parole se al variare del primo evento allora varierà anche il secondo oppure se sono tra loro scollegati, e quindi il variare di uno non incida sull’altro.
Riprendiamo l’esempio iniziale, quello delle 20 palline nel vaso. Supponiamo di voler calcolare quanto è probabile che io peschi prima una pallina rossa e poi una pallina nera, senza però aver rimesso dentro la prima pallina.
Il primo evento andrà quindi a incidere sul secondo, perché il totale delle palline passerà da 20 a 19, cambiando il rapporto tra i due numeri.
In questo caso, la situazione di cui stiamo parlando è quella della probabilità condizionata, che è la base per formulare il teorema di Bayes.
Per ottenere questo risultato devi moltiplicare la probabilità che il primo evento si verifichi con quella che il secondo evento accada, dopo che si è verificato il primo.
Vediamo i passaggi per calcolare la probabilità che nelle due estrazioni, la prima pallina sia rossa mentre la seconda nera (potevo anche scegliere di estrarre una seconda pallina rossa).
Ricorda che una volta pescata la prima pallina, la stessa non viene rimessa nell'urna ed è per questo che i due eventi sono dipendenti.
Nell’esempio delle palline, avevamo detto che quelle rosse sono 5 su un totale di 20. Quindi sarà:
P ( Prima pallina rossa ) = 5/20 = 0,25 = 25%
Qui devi fare attenzione: visto che questo evento accadrà dopo il primo, e che non avremo rimesso la pallina nel vaso, il numero passerà da 20 a 19. Quindi sarà:
P ( Seconda pallina nera ) = 15/19 = 0,7895 = 78,95%
A questo punto, moltiplica i due numeri e otterrai il risultato, quindi:
P ( 1° Rossa , 2° Nera ) = 5/20 x 15/19 = 75/380 = 0,1974 = 19,74%
Per capire gli eventi indipendenti, invece, prova a pensare al lancio di una moneta. Al primo lancio la probabilità che esca testa o croce, è del 50% e supponiamo sia uscita testa.
Quanto è probabile che esca di nuovo testa, visto che al lancio precedente è uscito testa? Ancora il 50% perchè il primo risultato NON incide sul secondo visto che i due eventi sono indipendenti.
La stessa cosa avremmo potuto riscontrarla nell'esempio del vaso con le 20 palline, però avremmo dovuto specificare che alla seconda estrazione dovevamo rimettere nel vaso la pallina appena estratta, producendo così una nuova estrazione indipendente dalla prima.
Riprendiamo l’esempio della moneta e calcoliamo quanto è probabile che esca due volte di seguito testa.
Nel primo caso, come abbiamo detto, è 1/2 , così come nel secondo, perché non sono relazionati l’uno con l’altro.
Dovremo quindi semplicemente moltiplicare la prima probabilità con la seconda, e avremo:
P ( 1° Testa , 2° Testa ) = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%
Le tre interpretazioni della probabilità statistica conosciute sono: classica, frequentista (o oggettiva), soggetiva. A queste possiamo aggiungere la teoria assiomatica.
Con concezione classica si intende un approccio che stabilisce a priori la probabilità che accada un evento, data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, partendo dall’assioma che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili.
Prendiamo di nuovo l’esempio di testa o croce: secondo la concezione classica io so a priori che avrò il 50% di probabilità che esca testa e altrettanto che esca croce.
Questa teoria è stata sviluppata dai due matematici Pascal e Fermat a partire dal XVII secolo e serviva fondamentalmente per risolvere problemi legati al gioco d’azzardo.
Ti ricordo che per giochi d'azzardo si intendono tutti quei giochi a cui non è associato alcun ragionamento ma si basano totalmente sulla casualità.
Esempi sono i giochi con monete, dadi, roulette...ma ovviamente questa teoria si può applicare anche ai giochi di semi-azzardo come quello delle carte.
Questa definizione si basa su un concetto fondamentale: la simmetria. Se si lancia una moneta perfettamente equilibrata, ciascuna delle due facce ha la stessa probabilità di uscire.
L'idea classica si basa sul concetto che tutti i casi dell’evento siano equiprobabili (come nel caso della moneta): eppure, questo ovviamente non può essere sempre vero.
Infatti diventa meno intuitiva quando si applica a situazioni della vita reale, dove la simmetria non è sempre evidente.
Per superare i limiti della definizione classica, il matematico von Mises ha introdotto un nuovo approccio alla probabilità, noto come interpretazione frequentista.
La concezione frequentista segue un approccio che potremmo definire basato sui grandi numeri: poichè non stabilisco a priori la probabilità, la ricaverò effettuando un numero di prove tendente all'infinito (tutte fatte nelle stesse condizioni).
La frequenza relativa dei successi, cioè il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale dei dati, tenderà al valore teorico della probabilità.
Quindi non dirò a priori che, lanciando una moneta, la probabilità che esca testa è del 50%, ma, dopo un numero di lanci tendente a infinito, dirò che la frequenza relativa tende al 50%.
Questa interpretazione, pur essendo molto utile, presenta delle limitazioni pratiche. Ad esempio, non possiamo lanciare una moneta all’infinito senza che prima si consumi o si deformi.
O in generale chi lancerebbe una moneta per 350.000 volte? Beh a dir la verità c'è chi l'ha fatto.
Tuttavia, il concetto di probabilità frequentista può essere visto come un’idea astratta e anche se non possiamo effettuare un numero infinito di prove, possiamo comunque eseguire un numero sufficientemente grande di esperimenti per ottenere una stima attendibile della probabilità di un evento.
Questo approccio è stato sviluppato nel XX secolo principalmente dal matematico italiano De Finetti che ha dato una nuova prospettiva alla probabilità, legandola alla fiducia che un individuo attribuisce al verificarsi di un evento.
Secondo questa visione, la probabilità non è un valore oggettivo, ma dipende dalla percezione e dalle informazioni disponibili a ciascun individuo.
L'esempio tipico sono le scommesse sportive. Il fatto che i bookmakers scelgano ti attribuire una quota bassa a una squadra di calcio, per esempio 1.20, significa che le attribuiscono una buona probabilità di vittoria.
In pratica, si può misurare chiedendo alle persone di esprimere il proprio grado di fiducia nel verificarsi di un evento, spesso attraverso scommesse o giudizi probabilistici, però attenzione ai bias cognitivi.
Questa concezione è particolarmente utile per eventi unici, che non possono essere ripetuti più volte per stimare una frequenza relativa.
Ad esempio, qual è la probabilità che venga scoperta una cura per il cancro entro i prossimi 5 anni? Non esiste un esperimento ripetibile che possa rispondere a questa domanda, ma si possono formulare stime basate sulle informazioni disponibili.
L’interpretazione soggettiva è alla base della statistica bayesiana, un ramo della statistica che prende il nome dal matematico inglese Thomas Bayes.
Mentre la statistica classica e frequentista si fonda sull’analisi dei dati osservati, il metodo bayesiano introduce il concetto di probabilità a priori (basata su conoscenze preliminari) e probabilità a posteriori (aggiornata in base ai nuovi dati raccolti).
In altre parole, secondo l’approccio bayesiano, più informazioni si raccolgono, più si può affinare la stima della probabilità di un evento. Questo metodo è ampiamente utilizzato in campi come l’intelligenza artificiale, la medicina e la finanza, dove le decisioni devono essere prese anche in condizioni di incertezza.
Vediamo, infine, la teoria assiomatica, cioè i tre assiomi fondamentali, le regole base da conoscere e seguire sempre prima di approcciarsi a questo argomento.
Formulati dal matematico sovietico Andrey Kolmogorov nel XX secolo, gli assiomi costituiscono la base su cui è costruita tutta la teoria della probabilità moderna. Questi principi stabiliscono le regole per il suo calcolo in qualsiasi contesto.
Il primo assioma stabilisce che la probabilità di qualsiasi evento è sempre un numero maggiore o uguale a zero. In termini matematici, per qualsiasi evento A, abbiamo:
P(A) ≥ 0
Questo assioma riflette il concetto che non può esistere una probabilità negativa, coerente con l'idea di probabilità come misura di certezza o possibilità che un evento si verifichi.
Il secondo assioma afferma che la probabilità di tutti gli esiti possibili di un esperimento, è 1. Matematicamente, se Ω (omega) rappresenta l'evento certo, allora
P (Ω) = 1
Questo assioma implica che quando si considerano tutti i possibili esiti di un esperimento, la certezza che uno di questi esiti si verifichi è totale.
Il terzo assioma riguarda gli eventi incompatibili (mutuamente esclusivi).
Per ogni coppia di eventi incompatibili A e B, cioè eventi che non possono verificarsi contemporaneamente [ P ( A ∩ B ) = 0 ], la probabilità dell'evento unione P ( A ∪ B ) è uguale alla somma delle loro probabilità.
Matematicamente, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
Ora che abbiamo delineato non solo le proprietà ma anche le metodologie di calcolo della probabilità, puoi approcciarti ai diversi problemi in modo più tranquillo. Come abbiamo detto all'inizio però, questi esempi che ti ho mostrato sono di facile soluzione, ma non saranno, ovviamente, tutti così!
Per questo ti invito a dare un'occhiata al mio video corso di statistica, in cui ho dedicato un modulo proprio alla probabilità e a come capire e affrontare gli esercizi legati a questo argomento.
PROBABILITÁ (Int_x;Prob_int;Limite_inf;Limite_sup)
Non c’è un comando
Capitan Barbossa: "Non è possibile!"
Pirati dei Caraibi - La maledizione della prima luna
Capitan Jack Sparrow: "Non è probabile...”
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