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Il calcolo combinatorio

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Postato il 3 Agosto 2022
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Se ti stai avventurando nel mondo del calcolo delle probabilità, allora saprai che l’argomento di questo articolo fa parte proprio di questa specifica branca della statistica. Il calcolo combinatorio, infatti, si occupa di studiare quali sono i metodi possibili per raggruppare un numero finito di elementi, e di capire quante sono le possibili combinazioni di raggruppamenti per ciascuno metodo.

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Quando si usa il calcolo combinatorio?

Un esempio classico di calcolo combinatorio riguarda il calcolo di quanti anagrammi possono esistere di una specifica parola, anche senza significato.

Vediamo per esempio la parola BORSA o la parola MAMMA, entrambe formate da 5 lettere, che possiamo definire elementi. Lo scopo di questa operazione è capire quanti altri termini posso realizzare utilizzando le lettere presenti in BORSA o in MAMMA. 

Ovviamente, questa operazione può essere effettuata su elementi come lettere, numeri, qualsiasi tipo di dato che possa essere contato. 

Il calcolo combinatorio risponde, quindi, a domande come “Quante sono le combinazioni di 5 numeri differenti tra loro?” o "Quante disposizioni sono possibili con 4 elementi dei quali 3 uguali tra loro?"

Nozioni di base per il calcolo combinatorio

Prima di addentrarci in dettaglio nel calcolo combinatorio e nei diversi metodi in cui questo può essere effettuato, dobbiamo definire due concetti di base, che sono fondamentali: il fattoriale di un numero e il coefficiente binomiale di due numeri.

Il fattoriale

Per definizione, il fattoriale di un numero naturale n è uguale al prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali a n, e si indica con n!.

Per esempio il fattoriale di 5 si ottiene moltiplicando 5 per tutti i numeri interi che lo precedono: 

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

N.B. = 0! è per definizione uguale a 1

Ma perché è così importante per il calcolo combinatorio? Perché, insieme al coefficiente binomiale, vedremo in seguito che è fondamentale per il calcolo delle probabilità.

Il coefficiente binomiale

Passiamo ora al coefficiente binomiale di due numeri, cioè un numero naturale che si ottiene partendo da due numeri n e k. In particolare, si definisce coefficiente binomiale di n su k il numero di sottoinsiemi di k oggetti tra gli n elementi disponibili.

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Differenza tra semplici e con ripetizione

Prima di vedere nel dettaglio le diverse modalità di raggruppamento, ti voglio spiegare qual è la differenza tra il concetto di semplici e con ripetizione.

Riprendendo gli esempi precedenti delle parole BORSA e MAMMA entrambe sono formate da 5 elementi, ma mentre BORSA ha tutte le lettere diverse, MAMMA ha solo la M e la A differenti che però si ripetono più volte.

Se vuoi anagrammare BORSA avrai quindi a che fare con una permutazione semplice in quanto tutte le lettere sono diverse.

Se invece vuoi anagrammare MAMMA avrai a che fare con una permutazione con ripetizione in quanto alcune lettere si ripetono e dunque lo scambio tra loro, immagina per esempio tra le due A, non comporta una modifica della parola che rimarrà sempre mamma.

Le permutazioni

Definizione

La permutazione (P) di un numero rappresenta gli n elementi ordinati in tutti i modi possibili.

Ogni permutazione deve avere dentro di sè tutti gli elementi presenti nella sequenza, senza lasciarne fuori nessuno.

Permutazioni semplici

In questo caso tutti gli elementi che prendiamo in considerazione devono essere diversi tra loro.

Pn = n!

P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Permutazioni semplici
Esempio di permutazione semplice

Permutazioni con ripetizione

In questo caso alcuni elementi che prendiamo in considerazione sono diversi tra loro, ma altri si ripetono.

Pn(r) = n! / (r1! * r2! * ... * rk!)

P3(2,1) = 3! / ( 2! * 1! ) = 3

Permutazioni con ripetizione
Esempio di permutazioni con ripetizione

Le combinazioni

Vediamo ora la seconda modalità di raggruppamento del calcolo combinatorio.

Le combinazioni sono sequenze NON ORDINATE di k oggetti scelti tra gli n elementi.

Le combinazioni sono raggruppamenti di k elementi, presi in qualsiasi ordine, che vengono formati a partire da n elementi tra loro distinti. A differenza di permutazioni e disposizioni, in questo caso l’ordine degli elementi non è importante!

Si dicono, quindi, combinazioni di classe k tutti quei raggruppamenti che presentano esattamente k oggetti, e in cui ogni combinazione è diversa dalle altre per almeno un elemento k preso in considerazione, ma non per l’ordine.

Combinazioni semplici

In questa situazione i k oggetti scelti tra gli n elementi devono essere obbligatoriamente distinti tra loro.

Cn,k = Coefficiente binomiale = n! / [k! * (n-k)!]

C4,2 = 4! / [2! * (4-2)!] = 6

Combinazioni semplici
Esempio di combinazioni semplici

Combinazioni con ripetizione

In questa situazione i k oggetti scelti tra gli n elementi possono essere ripetuti tra loro.

Cn,k(r) = (n+k-1)! / [k! * (n-1)!]

C4,2(r) = (4+2-1)! / [2! * (4-1)!] = 10

Calcolo combinatorio
Esempio di combinazione con ripetizione

Le disposizioni

Definizione

Infine, vediamo l’ultima modalità di ordinare un insieme di n dati, cioè le disposizioni, per poi spiegare cosa sono le disposizioni semplici e quelle con ripetizione.

Le disposizioni sono sequenze ORDINATE di k oggetti scelti tra gli n elementi.

Si dicono disposizioni di classe k tutti quei raggruppamenti che presentano esattamente k oggetti, e in cui ogni disposizione è diversa dalle altre o per l’ordine dei k oggetti o per almeno un k oggetto preso in considerazione. Qui l'ordine conta!

Disposizioni semplici

In questa situazione i k oggetti scelti tra gli n elementi devono essere obbligatoriamente distinti tra loro.

Dn,k = Cn,k * Pk = n! / (n-k)!

D4,2 = C4,2 * P2 = 4! (4-2)! = 12

Disposizioni semplici
Esempio di disposizioni semplici

Disposizioni con ripetizione

In questa situazione i k oggetti scelti tra gli n elementi si possono anche ripetere tra loro.

Dn,k(r) = nk

D4,2(r) = 42 = 16

Disposizioni con ripetizione
Esempio di disposizioni con ripetizione

Se hai dubbi su come risolvere gli esercizi legati al calcolo combinatorio, ti rimando al video iniziale in cui ti mostro, in modo chiaro e semplice, come risolvere un esercizio sul calcolo combinatorio utilizzando una calcolatrice scientifica SHARP.

Calcolo della probabilità EXCEL

Non esiste un comando specifico

Calcolo della probabilità SPSS

Non esiste un comando specifico

Riassumendo

  • Il calcolo combinatorio fa parte della branca della statistica che studia il calcolo della probabilità.
  • Il calcolo combinatorio studia quali sono i metodi possibili per raggruppare un numero finito di elementi.
  • Gli elementi possono essere raggruppati con o senza ripetizioni
  • I metodi di raggruppamento sono: permutazioni, combinazioni, disposizioni

Se tu hai una mela e io ho una mela, e ce le scambiamo, tu e io abbiamo sempre una mela per uno. Ma se tu hai un'idea e io ho un'idea, e ce le scambiamo, allora ognuno di noi avrà due idee.

Charles Franklin Brannan

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