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Distribuzione di Poisson

Postato il 31 Marzo 2022
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La distribuzione di Poisson è una variabile casuale discreta usata per contare il numero di volte con cui un certo evento si verifica in un arco di tempo.

Esempi distribuzione di Poisson

  • numero di chiamate pervenute a un centralino nell’arco di 1 ora
  • numero di arrivi a una stazione dei treni in 2 ore
  • numero di difetti incontrati ogni 50 cm di un pezzo di stoffa

Tale variabile può essere originata a partire da una distribuzione binomiale con parametri n e p che assumono rispettivamente valore molto grande e molto piccolo, in particolare:

n > 20 e p < 0,05

oppure

n > 100 e µ < 10

Ti ricordo che n rappresenta il numero di prove bernoulliane e p è la probabilità di successo di ciascuna prova.

Quando si usa la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è caratterizzata da un solo parametro chiamato valore medio e indicato con 𝜆 (Lambda). Facendo riferimento al primo degli esempi elencati sopra, voglio farti capire come trovare 𝜆 nella distribuzione di Poisson:

Esempio 1: 𝜆 = 2

Ad un centralino arrivano in media 24 chiamate all'ora. Calcolare la distribuzione di probabilità di Poisson che determini il numero di chiamate ogni 5 minuti.

Prima occorre calcolare quante chiamate arrivano al minuto, cioè 24/60 = 0,4.

Poi quelle che arrivano ogni 5 minuti, 𝜆 = 0,4 * 5 = 2

Requisiti per una distribuzione di Poisson

Inoltre, una variabile casuale di Poisson è tale che, assumendo che l’intervallo sia suddiviso in un numero molto grande di sottointervalli, deve soddisfare i seguenti requisiti:

  1. la probabilità del verificarsi un evento è costante in tutti i sottointervalli
  2. l’evento non può verificarsi più di una volta in ciascun sottointervallo
  3. eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti

Distribuzione di probabilità

Come fatto per la variabile discreta binomiale, ti mostro qui di seguito le formule per il calcolo della funzione di probabilità (pmf) e funzione di ripartizione (cdf) di una Poisson.

Funzione di massa di probabilità

La funzione di probabilità pmf di una variabile aleatoria di Poisson X fornisce il calcolo della probabilità che questa assuma un determinato valore x. In parole più semplici, si può dire che essa ci restituisce la probabilità che il numero di volte con cui si verifica il fenomeno in esame in un certo range di tempo, sia pari a x:

distribuzione di poisson

e = numero di Nepero = 2,7181...

𝜆 = parametro della Poisson

x = valore in cui calcolare la probabilità

Nota che a differenza della pmf di una binomiale, la pmf di una Poisson non contiene il coefficiente binomiale.

Inoltre sappi che se 𝜆 è un numero intero anche la moda corrisponderà a 𝜆 mentre se tale parametro non è intero allora si avranno due mode pari a 𝜆 e 𝜆 + 1

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una distribuzione di Poisson è invece data da:

distribuzione di Poisson

Questa permette di calcolare una probabilità cumulata, ossia la probabilità che il numero di volte con cui si verifica l’evento in questione nell’intervallo di tempo stabilito sia al più il valore x specificato. 

Se hai difficoltà nel calcolare le probabilità della variabile di Poisson, non ti preoccupare!

Ho preparato per te lo svolgimento di un esercizio con la calcolatrice scientifica Sharp. Questo ti permetterà di risparmiare tempo in un esame universitario e soprattutto di garantisce la certezza del risultato inserendo solo i dati del testo.

Esercizio svolto distribuzione di Poisson con la calcolatrice

Media, varianza e deviazione standard

Si dimostra inoltre che il valore atteso e la varianza di una variabile casuale con distribuzione di Poisson coincidono entrambi con il parametro 𝜆:

µ = 𝜆

σ2 = 𝜆

Di conseguenza, la deviazione standard di una Poisson è la radice quadrata di 𝜆.

Approssimazione della distribuzione di Poisson

Abbiamo già visto che una variabile con distribuzione Binomiale può generale una variabile con distribuzione di Poisson.

La stessa cosa può avvenire partendo da una Poisson che si approssima a una variabile avente distribuzione Normale, in particolare:

Se il parametro della variabile aleatoria X di Poisson 𝜆 è maggiore o uguale a 10 allora si può dire che X si distribuisce a come una Normale con media e varianza pari a 𝜆.

Distribuzione di Poisson EXCEL

DISTRIB.POISSON (X;Media;Cumulativo)

Distribuzione di Poisson SPSS

Analizza >>> Modelli lineari generalizzati >>> Modelli lineari generalizzati

Riassumendo

  • Una distribuzione di Poisson è un numero aleatorio discreto che conta il numero di occorrenze di un dato evento in un dato intervallo di tempo.
  • Il valore atteso e la varianza di una poissoniana coincidono con il suo parametro 𝜆.
  • È possibile approssimare la distribuzione di Poisson con la distribuzione normale se il valore medio di occorrenze è maggiore o uguale di 10.

Ciò che può influenzare i nostri sensi in qualsiasi modo, è chiamato materia.

(SIMÉON DENIS POISSON, matematico, fisico, astronomo e statistico francese)

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