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La distribuzione di Poisson è una variabile casuale discreta usata per contare il numero di volte con cui un certo evento si verifica in un arco di tempo.
La distribuzione di Poisson è caratterizzata da un solo parametro chiamato valore medio e indicato con 𝜆 (Lambda). Ti spiego il suo significato attraverso un esempio semplice per farti capire come trovare 𝜆 nella distribuzione di Poisson.
Ad un centralino arrivano in media 24 chiamate all'ora. Calcolare la distribuzione di probabilità di Poisson che determini il numero di chiamate ogni 5 minuti.
Prima occorre calcolare quante chiamate arrivano al minuto, cioè 24/60 = 0,4.
Poi quelle che arrivano ogni 5 minuti, 𝜆 = 0,4 * 5 = 2
Questa è la logica che sta dietro il 𝜆, ma in un esercizio universitario potrebbero anche facilitarti la vita dando direttamente il valore di lambda.
Una distribuzione di Poisson è tale che, assumendo che l’intervallo sia suddiviso in un numero molto grande di sottointervalli, deve soddisfare i seguenti requisiti:
Come fatto per la variabile binomiale, ti mostro qui di seguito le formule per il calcolo della funzione di probabilità (detta PMF) e funzione di ripartizione (CDF) di una Poisson.
La funzione di probabilità di una variabile aleatoria restituisce la probabilità che il numero di volte con cui si verifica un fenomeno in un arco di tempo, sia pari a x:
e = numero di Nepero = 2,7181...
𝜆 = parametro della Poisson
x = valore in cui calcolare la probabilità
Nota che a differenza della PMF di una binomiale, la PMF di una Poisson non contiene il coefficiente binomiale.
Inoltre sappi che se 𝜆 è un numero intero anche la moda corrisponderà a 𝜆 mentre se tale parametro non è intero allora si avranno due mode pari a 𝜆 e 𝜆 + 1
La funzione di ripartizione di una distribuzione di Poisson è invece data da:
Questa permette di calcolare una probabilità cumulata, ossia la probabilità che il numero di volte con cui si verifica l’evento in questione nell’intervallo di tempo stabilito sia al più il valore x specificato.
Se hai difficoltà nel calcolare le probabilità della variabile di Poisson, non ti preoccupare! Ho fatto un video che ti può aiutare.
La calcolatrice scientifica Sharp ti permette di risparmiare tempo in un esame universitario e soprattutto di garantisce la certezza del risultato inserendo solo i dati del testo.
Si dimostra inoltre che il valore atteso e la varianza di una variabile casuale con distribuzione di Poisson coincidono entrambi con il parametro 𝜆:
µ = 𝜆
σ2 = 𝜆
Testo del problema
Ad un centralino arrivano in media 24 chiamate all’ora. Calcolare la probabilità che in 5 minuti ci siano:
Tabella dei dati:
\[
\small
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Parametro} & \textbf{Valore} \\
\hline
\text{Media oraria} & 24 \\
\lambda \text{ (5 minuti)} & \frac{24}{60} \times 5 = 2 \\
X_A & 0 \\
X_B & 0,1,2,3 \\
X_C & 5,6,7,\dots \\
\hline
\end{array}
\]
Formula della distribuzione di Poisson:
\[
\small
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]
dove:
Calcolo delle probabilità richieste
A) Probabilità che non arrivi nessuna chiamata (\(P(X = 0)\)):
\[
\small
P( X = 0 ) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} = 0,1353
\]
B) Probabilità che arrivino al massimo 3 chiamate (\( P(X \leq 3) \)):
\[
\small
P( X \leq 3 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 )
\]
Calcoliamo ogni termine:
\[
\small
P( X = 1 ) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2 \cdot e^{-2} = 0,2707
\]
\[
\small
P( X = 2 ) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{4 \cdot e^{-2}}{2} = 0,2707
\]
\[
\small
P( X = 3 ) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} = \frac{8 \cdot e^{-2}}{6} = 0,1804
\]
\[
\small
P( X \leq 3 ) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,8571
\]
C) Probabilità che arrivino più di 4 chiamate (\(P(X > 4)\)):
\[
\small
P( X > 4 ) = 1 - P( X \leq 4 )
\]
Calcoliamo \( P(X = 4) \):
\[
\small
P( X = 4 ) = \frac{e^{-2} 2^4}{4!} = \frac{16 \cdot e^{-2}}{24} = 0,0902
\]
\[
\small
P( X \leq 4 ) = P( X \leq 3 ) + P( X = 4 ) = 0,8571 + 0,0902 = 0,9473
\]
\[
\small
P( X > 4 ) = 1 - 0,9473 = 0,0527
\]
Risultati finali:
\[
\small
P(A) = 0,1353
\]
\[
\small
P(B) = 0,8571
\]
\[
\small
P(C) = 0,0527
\]
Abbiamo già visto che una variabile con distribuzione binomiale può generale una variabile con distribuzione di Poisson.
Tale variabile può essere originata a partire da una binomiale con parametri n e p che assumono rispettivamente valore molto grande e molto piccolo, in particolare:
n > 20 e p < 0,05
oppure
n > 100 e µ < 10
Ti ricordo che n rappresenta il numero di prove bernoulliane e p è la probabilità di successo di ciascuna prova.
La stessa cosa può avvenire partendo da una Poisson che si approssima a una variabile avente distribuzione Normale, in particolare:
Se il parametro della variabile aleatoria X di Poisson 𝜆 è maggiore o uguale a 10 allora si può dire che X si distribuisce a come una Normale con media e varianza pari a 𝜆.
DISTRIB.POISSON (X;Media;Cumulativo)
Analizza >>> Modelli lineari generalizzati >>> Modelli lineari generalizzati
Ciò che può influenzare i nostri sensi in qualsiasi modo, è chiamato materia.
(SIMÉON DENIS POISSON, matematico, fisico, astronomo e statistico francese)
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