Come e quando usare il test di Friedman nelle analisi statistiche

In questo articolo, esploreremo uno dei test non parametrici più utilizzati: il test di Friedman. 

Ti spiegherò cos'è, quando si usa, quali sono le ipotesi di partenza, come funziona e come si calcola.

Se ancora non ci conosciamo, lascia che mi presenti: sono Adriano Gilardone, docente freelance di statistica, esperto di Excel e SPSS e appassionato di numeri.

Sul mio blog e su YouTube condivido ogni settimana contenuti che ti aiutano a capire la statistica, senza odiarla più.

Test di Friedman

Il test di Friedman è un test statistico non parametrico utilizzato per confrontare tre o più campioni appaiati. 

Si utilizza quando i dati non soddisfano le assunzioni necessarie per il suo test parametrico corrispondente, cioè l'ANOVA a misure ripetute. 

Il test di Friedman valuta se ci sono differenze significative tra le mediane dei ranghi dei campioni. 

In altre parole, determina se almeno uno dei campioni differisce dagli altri. 

Cosa sono i test non parametrici?

I test non parametrici sono metodi statistici utilizzati quando i dati non soddisfano le assunzioni necessarie per i test parametrici, come la normalità della distribuzione o l'uguaglianza delle varianze. 

A differenza dei test parametrici, i test non parametrici non si basano su specifiche distribuzioni di probabilità e sono quindi più flessibili.

Questi test sono particolarmente utili quando i campioni sono piccoli, quando i dati sono ordinali o categoriali, o quando esistono valori anomali che possono influenzare i risultati dei test parametrici. 

Tra i test non parametrici più comuni troviamo il test di Wilcoxon, il test di Kruskal-Wallis, il test di Mann-Whitney e, naturalmente, il test di Friedman.

Questi test permettono di ottenere risultati affidabili anche in presenza di distribuzioni irregolari o dati non continui.

Ipotesi di partenza

Le ipotesi forniscono il quadro teorico su cui si basa il test e determinano le condizioni sotto le quali viene effettuata l'analisi.

Ipotesi nulla (H0)

L'ipotesi nulla del test di Friedman afferma che non ci sono differenze significative tra i ranghi mediani dei gruppi. In altre parole, tutte le mediane dei ranghi dei gruppi sono uguali e qualsiasi differenza osservata è dovuta al caso.

Ipotesi alternativa (H1)

L'ipotesi alternativa afferma che almeno una delle mediane dei ranghi differisce significativamente dalle altre. Questo indica che esistono differenze reali tra i gruppi che non possono essere attribuite al caso.

Come funziona il test di Friedman

Una volta verificate le assunzioni (ed essere quindi certo di poter applicare correttamente il test), puoi procedere con il calcolo vero e proprio.

Le assunzioni 

Le assunzioni ti dicono se il test di Friedman può essere applicato correttamente e se restituisce risultati validi.

Le principali:

• Le misurazioni sono almeno ordinali, il che significa che i dati possono essere ordinati in un certo ordine.
• Le osservazioni sono indipendenti all'interno dei gruppi.
• Ogni gruppo di dati deve avere la stessa dimensione, ovvero il numero di osservazioni deve essere uguale per tutti i gruppi.

Inoltre, il test di Friedman presuppone che le differenze tra i gruppi non siano dovute al caso, ovvero che ci siano effettive differenze tra le mediane dei ranghi.

Come si calcola

Il test di Friedman si basa sul calcolo di un punteggio di rango per ogni campione in ogni blocco (ad esempio, ogni soggetto). Quindi, viene calcolata una statistica test basata sulla somma dei ranghi di ogni campione.

Vediamo come funziona nei dettagli.

Rango dei dati

Per prima cosa, ordina i dati all'interno di ciascun gruppo. 

Ogni osservazione viene quindi sostituita dal suo rango all'interno del gruppo. Se ci sono osservazioni uguali, viene assegnato il rango medio.

Somma dei ranghi

Successivamente, si calcola la somma dei ranghi per ciascun gruppo. Questo passaggio è essenziale perché il test di Friedman confronta queste somme di ranghi tra i gruppi per determinare se ci sono differenze significative.

Calcolo della statistica di Friedman

La statistica del test di Friedman è calcolata utilizzando la formula:

dove:

• n è il numero di blocchi (o soggetti).
• k è il numero di gruppi (o trattamenti).
• R_j è la somma dei ranghi per il gruppo j.

Determinazione del valore critico

La statistica Q segue approssimativamente una distribuzione chi-quadro (χ²) con k−1 gradi di libertà.

A proposito di chi-quardo: se ancora non ti è chiaro di cosa si tratta, guarda questa metafora:

Interpretazione dei risultati

Se il valore di Q è maggiore del valore critico della distribuzione chi-quadro, si rifiuta l'ipotesi nulla. 

Questo indica che esistono differenze significative tra i gruppi. 

In caso contrario, non ci sono prove sufficienti per rifiutare l'ipotesi nulla.

Test di Friedman Excel

Non esiste un comando specifico

Test di Friedman SPSS

Analizza >>> Test non parametrici >>> Finestre di dialogo legacy >>> K campioni correlati

Riassumendo 

• Il test di Friedman è un test non parametrico utilizzato per confrontare tre o più campioni appaiati.
• Si usa quando i dati non soddisfano le assunzioni dell'ANOVA a misure ripetute.
• L'ipotesi nulla del test di Friedman afferma che non ci sono differenze significative tra i ranghi mediani dei gruppi.
• L'ipotesi alternativa afferma che almeno una delle mediane dei ranghi differisce significativamente.
• Il calcolo del test di Friedman include l'ordinamento dei dati, il calcolo dei ranghi e la somma dei ranghi per ciascun gruppo.