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Sei uno studente di statistica alle prese con i test non parametrici? Ti stai chiedendo quando e come utilizzare il test di Wilcoxon dei segni?
Sei nel posto giusto! In questo articolo te ne parlo approfonditamente.
Il test di Wilcoxon dei segni, è un test statistico non parametrico utilizzato per confrontare due campioni dipendenti o appaiati.
È l'alternativa al t-test per campioni appaiati che è un test parametrico.
Ti ricordo che è preferibile utilizzare test statistici non parametrici quando:
Il test di Wilcoxon dei segni confronta le mediane delle differenze tra due serie di osservazioni appaiate. Determina se le differenze osservate sono statisticamente significative.
Utilizza i ranghi dei dati invece dei valori assoluti. Questo lo rende meno sensibile ai valori anomali e alle distribuzioni non normali.
Il sistema di ipotesi del test di Wilcoxon dei segni è:
Se non ricordi cos’è un sistema di ipotesi, hai bisogno di vedere questo video. Si tratta di una metafora statistica.
In pratica, ti spiego concetti anche articolati attraverso l’uso di una metafora. Gli iscritti al mio canale YouTube adorano questa playlist. Mi fai sapere se piace anche a te?
Il test di Wilcoxon per campioni appaiati viene utilizzato quando si desidera confrontare due gruppi di dati collegati o misurazioni ripetute sullo stesso campione, ma non è possibile usare il t-test per campioni appaiati.
Esempi comuni includono:
Il test di Wilcoxon per campioni appaiati converte le differenze tra le coppie di osservazioni in ranghi. Valuta poi se la mediana delle differenze è significativamente diversa da zero.
Le assunzioni del test di Wilcoxon dei segni sono:
Per ogni coppia di osservazioni (X, Y), calcola la differenza
Ordina le differenze rimanenti in ordine crescente di grandezza, senza considerare il segno (positivo o negativo). Ignora le differenze pari a zero.
Assegna un rango a ciascuna delle differenze ordinate, partendo da 1 per la differenza più piccola.
Se ci sono differenze uguali, assegna a ciascuna il rango medio delle posizioni che occupano.
Riassocia i segni originali (+ o -) ai ranghi calcolati.
Somma i ranghi con segno positivo (W+).
Somma i ranghi con segno negativo (W−).
Considera la statistica del test T, il valore minore tra W+ e W−.
Confronta la statistica del test T con il valore critico della distribuzione di Wilcoxon per il numero di coppie (disponibile nelle tabelle statistiche) per determinare se la differenza è significativa.
Tabella dei dati:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{X} & \textbf{Y} \\
\hline
10 & 18 \\
18 & 17 \\
17 & 23 \\
19 & 22 \\
19 & 24 \\
16 & 15 \\
16 & 18 \\
16 & 19 \\
11 & 17 \\
\hline
\end{array}
\]
Passo 1: Calcola le differenze e i valori assoluti
\[
|D_i|
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{X} & \textbf{Y} & \textbf{D} = X - Y & |D| \\
\hline
10 & 18 & -8 & 8 \\
18 & 17 & +1 & 1 \\
17 & 23 & -6 & 6 \\
19 & 22 & -3 & 3 \\
19 & 24 & -5 & 5 \\
16 & 15 & +1 & 1 \\
16 & 18 & -2 & 2 \\
16 & 19 & -3 & 3 \\
11 & 17 & -6 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]
Passo 2: Ordinamento dei valori assoluti e assegnazione dei ranghi
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{X} & \textbf{Y} & \textbf{D} & |D| & \textbf{Rango} \\
\hline
18 & 17 & +1 & 1 & 1.5 \\
16 & 15 & +1 & 1 & 1.5 \\
16 & 18 & -2 & 2 & 3 \\
19 & 22 & -3 & 3 & 4.5 \\
16 & 19 & -3 & 3 & 4.5 \\
19 & 24 & -5 & 5 & 6 \\
17 & 23 & -6 & 6 & 7.5 \\
11 & 17 & -6 & 6 & 7.5 \\
10 & 18 & -8 & 8 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]
Passo 3: Somma dei ranghi positivi e negativi
\[
W^+ = \sum_{\text{D} > 0} \text{Rango} = 1.5 + 1.5 = 3
\]
\[
W^- = \sum_{\text{D} < 0} \text{Rango} = 4.5 + 4.5 + 6 + 7.5 + 7.5 + 9 + 3 = 42
\]
Passo 4: Calcolo della statistica del test
\[
W = \min(W^+, W^-) = \min(3, 42) = 3
\]
Passo 5: Confronto con i valori critici e calcolo del p-value
Abbiamo ottenuto la statistica del test:
\[
W = 3
\]
Ora confrontiamo questo valore con il valore critico tabulato per un test di Wilcoxon dei segni con \( n = 9 \) (ovvero il numero di coppie di dati senza differenze nulle) e un livello di significatività \( \alpha = 0.05 \) per un test a due code.
Dalle tabelle dei valori critici di Wilcoxon, il valore critico per \( n = 9 \) con \( \alpha = 0.05 \) a due code è:
\[
W_{\alpha=0.05} = 6
\]
Poiché il valore calcolato di \( W = 3 \) è inferiore al valore critico tabulato \( W_{\alpha=0.05} = 6 \), possiamo rifiutare l'ipotesi nulla \( H_0 \) al livello di significatività \( 0.05 \). Questo significa che esiste una differenza significativa tra i valori di \( X \) e \( Y \).
Calcolo del p-value
Per calcolare il p-value, possiamo approssimare la distribuzione di Wilcoxon a una distribuzione normale, dato che \( n \) non è troppo piccolo. La statistica di Wilcoxon può essere trasformata in una statistica \( Z \) come segue:
\[
Z = \frac{W - \frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}}
\]
Sostituendo i valori con \( n = 9 \):
\[
Z = \frac{3 - \frac{9(10)}{4}}{\sqrt{\frac{9(10)(19)}{24}}}
\]
\[
Z = \frac{3 - 22.5}{\sqrt{71.25}}
\]
\[
Z = \frac{-19.5}{8.44} = -2.31
\]
Ora calcoliamo il p-value corrispondente a \( Z = -2.31 \). Dalla distribuzione normale standard, la probabilità cumulativa per \( Z = -2.31 \) è circa:
\[
P(Z < -2.31) \approx 0.0104
\]
Poiché il test è a due code, il p-value totale è:
\[
p = 2 \times 0.0104 = 0.0208
\]
Dato che \( p = 0.0208 \) è inferiore a \( \alpha = 0.05 \), possiamo rifiutare l'ipotesi nulla \( H_0 \), confermando che esiste una differenza significativa tra i due gruppi di dati.
Conclusione: Il test di Wilcoxon dei segni indica che esiste una differenza significativa tra le misurazioni di \( X \) e \( Y \), con un p-value di circa 0.021. Pertanto, possiamo concludere che le due distribuzioni non sono equivalenti.
Non esiste
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Se vuoi sapere quando usare i test non parametrici, ti consiglio di guardare questo il video di introduzione al capitolo 10 del mio videocorso su SPSS che trovi all'inizio dell'articolo.
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