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Test di Kruskal-Wallis

Postato il 23 Febbraio 2022
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Il test di Kruskal-Wallis (dal nome dell’inventore Allen Wallis) noto anche come test H, è l'alternativa non parametrica al test ANOVA unidirezionale per dati non accoppiati. È un'estensione del test di Mann-Whitney (METTERE LINK) per più di due gruppi. È quindi un test che utilizza intervalli per verificare l'ipotesi che k campioni siano stati ottenuti dalla stessa popolazione.

A differenza dell'ANOVA in cui le medie vengono confrontate, il test di Kruskal-Wallis verifica se i diversi campioni sono equidistribuiti e quindi appartengono alla stessa distribuzione (popolazione). Con alcune semplificazioni, il test di Kruskal-Wallis può essere considerato per confrontare le mediane.

Ipotesi del test di Kruskal-Wallis

Il sistema di ipotesi del test è il seguente:

H0: Tutti i campioni provengono dalla stessa popolazione (distribuzione).

H1: Almeno un campione proviene da una popolazione con una distribuzione diversa.

Quando e come utilizzare il test di Kruskal-Wallis

Il test di Kruskal-Wallis è il test appropriato quando i dati hanno un ordine naturale, cioè quando devono essere ordinati per dare loro un senso, o quando non sono soddisfatte le condizioni per l'applicazione di un’ANOVA. Ad esempio, se vuoi studiare la differenza tra uomini e donne in una gara, puoi avere due tipi di dati: i tempi di ogni partecipante (analisi ANOVA) o le posizioni in cui ogni partecipante ha terminato la gara (analisi ANOVA con il test di Kruskal-Wallis).

Supponiamo di avere k gruppi ciascuno con n osservazioni. Se tutte le osservazioni sono ordinate dal più basso al più alto e a ognuna di esse viene assegnato il proprio rango, quando si ottiene la somma dei ranghi per ciascuno dei gruppi (Ri), ci si aspetta che, se l'ipotesi nulla è soddisfatta, tutti i gruppi abbiano un valore simile. Partendo da questa idea, la statistica H è calcolata come:

test di kruskal-wallis

Requisiti del test di Kruskal-Wallis

Il test di Kruskal-Wallis si può applicare sotto determinate ipotesi. 

  • I campioni confrontati non devono necessariamente provenire da una distribuzione normale.
  • Omoschedasticità: poiché l'ipotesi nulla presuppone che tutti i gruppi appartengano alla stessa popolazione e quindi abbiano le stesse mediane, è requisito necessario che tutti i gruppi abbiano la stessa varianza. Può essere verificato con rappresentazioni grafiche o con i test di Levene o Barttlet.
  • Stessa distribuzione per tutti i gruppi: la distribuzione dei gruppi non deve essere normale, ma deve essere la stessa in tutti (ad esempio, che tutti mostrino asimmetria a destra).

Se questi requisiti sono soddisfatti, la statistica H del test di Kruskal-Wallis viene confrontata nei seguenti modi:

  1. Se la dimensione dei gruppi k è uguale a 3 e il numero di osservazioni in ciascuno non è maggiore di 5, vengono utilizzate tabelle tabulate con valori teorici di H.
  2. In tutti gli altri casi, si assume che la statistica H segua una distribuzione χ2 con k-1 gradi di libertà (k è il numero di gruppi da confrontare).

Tuttavia si ritiene che l'ANOVA sia una tecnica abbastanza robusta anche in assenza di normalità, soprattutto con campioni medi o grandi. Per tale ragione si raccomanda l'uso del test di Kruskal-Wallis solo quando le popolazioni da confrontare sono chiaramente asimmetriche tutte nella stessa direzione e che la loro varianza sia omogenea. Se la varianza non è omogenea, il test appropriato è un'ANOVA con correzione di Welch. Nei casi in cui abbiamo a che fare con dati puramente ordinali, l’ANOVA non può essere utilizzata.

Confronti post hoc

Esattamente come l’ANOVA, se il test di Kruskal-Wallis è significativo, si afferma che almeno due gruppi tra quelli confrontati sono significativamente diversi, ma non si sanno quali. Per scoprirlo, è necessario confrontarli tutti. Ciò implica l'esecuzione di una correzione del livello di significatività per evitare di aumentare l'errore di tipo I. I due metodi di confronto post-hoc più comunemente utilizzati per un test di Kruskal-Wallis sono:

  • Test di Mann-Whitney tra ciascuna coppia di gruppi con correzione della significatività.
  • Test dell'intervallo di Tukey

Calcolo dell’Effect size

Non esiste un modo generale per calcolare la dimensione dell'effetto di un test di Kruskal-Wallis, ossia la misura della relazione che sussiste tra due variabili. Di solito si calcola la dimensione dell'effetto sulle coppie che sono state significativamente diverse nell'analisi post-hoc. Se i confronti post-hoc vengono effettuati utilizzando Mann-Whitney, si dovrà calcolare l'effetto associato a tale test.

COMANDI SOFTWARE:

  • Test di Kruskal-Wallis EXCEL: Componente aggiuntivo PH STAT >>> Multiple-sample test >>> Kruskal-Wallis Rank Test

N.B. PH STAT è un componente aggiuntivo che puoi aquistare a circa 12 euro. Io lo trovo molto utile soprattuto per quei test che non puoi fare con i comandi abituali di Excel, come per esempio i test non parametrici e quindi anche il test di Kruskal-Wallis. Puoi scaricarlo seguendo le istruzioni qui.

  • Test di Kruskal-Wallis SPSS: Analizza >>> Test non parametrici >>> Finestre di dialogo precedenti >>> 2 campioni indipendenti

Riassumendo

  • Il test di Kruskal-Wallis è un test non parametrico che si utilizza in alternativa all’anova a una via
  • I requisiti necessari per eseguire il test sono uguale simmetria della distribuzione dei campioni e omogeneità della varianza
  • Se il test di Kruskal-Wallis è significativo si procede con l’analisi post hoc per capire quali gruppi differiscono 

Io sono il più grande, l’ho detto prima ancora di sapere che lo fossi.

(Muhammad Ali)

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