La distribuzione di Pareto è una variabile casuale che rappresenta un modello di distribuzione dei redditi e di altre quantità che seguono il principio di Pareto, secondo cui, il 20% delle cause è responsabile dell'80% degli effetti.
La variabile aleatoria di Pareto viene utilizzata nei seguenti casi:
La distribuzione di Pareto è utile in generale quando si affrontano situazioni in cui una piccola percentuale di fattori è responsabile della maggior parte degli effetti o delle conseguenze.
Prima di tutto devi definire i valori dei parametri della variabile casuale di Pareto, che sono:
x = variabile casuale di interesse, rappresentata da valore positivo (x ≥ a)
a = parametro di scala. E' il valore minimo da dove inizia la distribuzione (a > 0)
Ɵ = parametro di forma, che mostra la "pesantezza" della coda della distribuzione (Ɵ > 0)
La funzione di densità (PDF) deve essere positiva e integrabile su tutto il dominio della variabile casuale.
Identifica e sostituisci i valori di nella formula.
Eleva a theta (Ɵ) il valore di a.
Quindi esegui la seguente operazione : Ɵ * (aƟ)
Eleva la variabile casuale x alla potenza Ɵ+1
Dividi il risultato della prima operazione per il secondo.
Ricorda che questa formula è valida solo per x ≥ a. Se x < a, la PDF è uguale a 0.
In una variabile casuale continua non ha molto senso calcolare la probabilità in un singolo punto, pertanto è probabile che negli esercizi per gli esami universitari si faccia riferimento alla funzione di ripartizione che ti spiego qui sotto.
La funzione di ripartizione della distribuzione di Pareto rappresenta la probabilità che la variabile casuale sia minore o uguale a un determinato valore.
Identifica e sostituisci i valori nella formula.
Dividi il parametro di scala a per il valore x in cui vuoi calcolare la probabilità.
Eleva il rapporto ottenuto al passo precedente alla potenza Ɵ.
Sottrai il risultato del passo precedente da 1.
Ricorda che anche questa formula è valida solo per x ≥ a. Se x < a, la PDF è uguale a 0.
La media, la varianza e la mediana sono importanti misure statistiche che caratterizzano tutte le variabili casuali e di conseguenza anche quella di Pareto. Tutti e tre gli indicatori dipendono sia dal parametro Ɵ sia dal parametro di scala (a).
La media è definita solo per Ɵ > 1 e si calcola come segue:
La varianza è definita solo per Ɵ > 2 e si calcola come segue:
dove E(x) è la media calcolata nel passo precedente.
La mediana è definita per qualsiasi valore di Ɵ > 0 e si calcola come segue:
Se hai dubbi sulla mediana guarda questo mio video in cui te la spiego in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica.
La variabile aleatoria di Pareto ha la proprietà di stabilità sotto scala, il che significa che se si moltiplica la variabile casuale di Pareto per una costante k, la distribuzione risultante sarà ancora una distribuzione con lo stesso parametro Ɵ e un parametro di scala moltiplicato per k (k * a).
La variabile casuale di Pareto segue una legge di potenza, che viene espressa come una funzione lineare su una scala log-log.
Questa proprietà implica che la coda della distribuzione decresce lentamente e che gli eventi rari e di grande impatto sono più probabili rispetto ad altre distribuzioni, come quella esponenziale.
La legge di potenza è alla base di molte distribuzioni di fenomeni naturali e sociali, come la popolarità di siti web, la frequenza delle parole e la distribuzione delle dimensioni delle città.
La variabile casuale di Pareto ha relazioni con altre distribuzioni, come la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Weibull.
Ad esempio, la distribuzione esponenziale è vista come un caso limite della distribuzione di Pareto quando il parametro Ɵ tende all'infinito. Inoltre, la distribuzione di Weibull viene considerata una generalizzazione della variabile causale di Pareto, in quanto include sia la distribuzione esponenziale sia la distribuzione di Pareto come casi particolari.
L'approssimazione della variabile aleatoria di Pareto alla distribuzione esponenziale viene fatta in situazioni specifiche. Quando il parametro Ɵ è grande, la coda della distribuzione diventa meno pesante e inizia ad assomigliare a quella della distribuzione esponenziale.
Per approssimarla alla distribuzione esponenziale, segui questo processo:
È importante notare che l'approssimazione alla distribuzione esponenziale è valida solo quando il parametro Ɵ è grande. In altre situazioni, potrebbe non essere adeguata e sarebbero necessarie altre distribuzioni per una migliore approssimazione.
Se hai qualche dubbio sulla distribuzione esponenziale non ti preoccupare perché ho realizzato un video, con l'aiuto della calcolatrice scientifica SHARP, che ti permetterà di svolgere un'esercizio in modo semplice e veloce.
La distribuzione di Pareto può anche essere approssimata alla distribuzione di Weibull.
Questa approssimazione è utile quando si desidera modellare un fenomeno che mostra sia caratteristiche di legge di potenza sia caratteristiche di altre distribuzioni.
Non esiste un comando specifico
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"I dati e le statistiche servono a visualizzare meglio l’incomprensibile."
Fabrizio Caramagna
