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Distribuzione di Pareto

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Postato il 2 Maggio 2023
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La distribuzione di Pareto è una variabile casuale che rappresenta un modello di distribuzione dei redditi e di altre quantità che seguono il principio di Pareto, secondo cui, il 20% delle cause è responsabile dell'80% degli effetti.

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Quando si usa la distribuzione di Pareto

La variabile aleatoria di Pareto viene utilizzata nei seguenti casi:

  • In economia per l'analisi della distribuzione del reddito e della ricchezza.
  • In gestione aziendale e marketing, tramite l'applicazione della regola 80/20, per identificare clienti e prodotti chiave. Se per ottenere l’80% delle vendite basta molto meno dell’20% dei clienti si è a rischio concentrazione. Se al contrario, per cumulare l’80% bisogna includere molto di più del 20% allora si è frammentati.
  • In ingegneria della qualità per la creazione di diagrammi di Pareto per identificare e risolvere problemi critici.
  • In analisi delle reti per la descrizione delle proprietà di scale-free nelle reti complesse.
  • Nella scienza delle informazioni e delle comunicazioni per la modellazione della popolarità di contenuti online come siti web, video e articoli.
  • In analisi del rischio e delle assicurazioni per la valutazione del rischio e determinazione delle tariffe per eventi rari e ad alto impatto come catastrofi naturali o gravi incidenti.

La distribuzione di Pareto è utile in generale quando si affrontano situazioni in cui una piccola percentuale di fattori è responsabile della maggior parte degli effetti o delle conseguenze.

Distribuzione di probabilità

Prima di tutto devi definire i valori dei parametri della variabile casuale di Pareto, che sono:

x = variabile casuale di interesse, rappresentata da valore positivo (x ≥ a)

a = parametro di scala. E' il valore minimo da dove inizia la distribuzione (a > 0)

Ɵ = parametro di forma, che mostra la "pesantezza" della coda della distribuzione (Ɵ > 0)

Funzione di densità di probabilità

distribuzione di pareto

La funzione di densità (PDF) deve essere positiva e integrabile su tutto il dominio della variabile casuale.

Sostituisci i valori

Identifica e sostituisci i valori di nella formula.

Calcola aƟ

Eleva a theta (Ɵ) il valore di a.

Moltiplica Ɵ per il risultato ottenuto al passo precedente

Quindi esegui la seguente operazione : Ɵ * (aƟ)

Calcola x(Ɵ+1)

Eleva la variabile casuale x alla potenza Ɵ+1

Applica la formula

Dividi il risultato della prima operazione per il secondo.

distribuzione di pareto

Ricorda che questa formula è valida solo per x ≥ a. Se x < a, la PDF è uguale a 0.

In una variabile casuale continua non ha molto senso calcolare la probabilità in un singolo punto, pertanto è probabile che negli esercizi per gli esami universitari si faccia riferimento alla funzione di ripartizione che ti spiego qui sotto.

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Funzione di ripartizione

distribuzione di pareto

La funzione di ripartizione della distribuzione di Pareto rappresenta la probabilità che la variabile casuale sia minore o uguale a un determinato valore.

Sostituisci i valori

Identifica e sostituisci i valori nella formula.

Calcola il rapporto (a / x)

Dividi il parametro di scala a per il valore x in cui vuoi calcolare la probabilità.

Calcola (a / x)Ɵ

Eleva il rapporto ottenuto al passo precedente alla potenza Ɵ.

Applica la formula

Sottrai il risultato del passo precedente da 1.

distribuzione di pareto

Ricorda che anche questa formula è valida solo per x ≥ a. Se x < a, la PDF è uguale a 0.

Media, varianza e mediana

La media, la varianza e la mediana sono importanti misure statistiche che caratterizzano tutte le variabili casuali e di conseguenza anche quella di Pareto. Tutti e tre gli indicatori dipendono sia dal parametro Ɵ sia dal parametro di scala (a).

Media

La media è definita solo per Ɵ > 1 e si calcola come segue:

distribuzione di pareto

Varianza

La varianza è definita solo per Ɵ > 2 e si calcola come segue:

distribuzione di pareto

dove E(x) è la media calcolata nel passo precedente.

Mediana

La mediana è definita per qualsiasi valore di Ɵ > 0 e si calcola come segue:

distribuzione di pareto

Se hai dubbi sulla mediana guarda questo mio video in cui te la spiego in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica.

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Mediana spiegata con una metafora

Proprietà della distribuzione di Pareto

Stabilità sotto scala

La variabile aleatoria di Pareto ha la proprietà di stabilità sotto scala, il che significa che se si moltiplica la variabile casuale di Pareto per una costante k, la distribuzione risultante sarà ancora una distribuzione con lo stesso parametro Ɵ e un parametro di scala moltiplicato per k (k * a).

Legge di potenza

La variabile casuale di Pareto segue una legge di potenza, che viene espressa come una funzione lineare su una scala log-log.

Questa proprietà implica che la coda della distribuzione decresce lentamente e che gli eventi rari e di grande impatto sono più probabili rispetto ad altre distribuzioni, come quella esponenziale.

La legge di potenza è alla base di molte distribuzioni di fenomeni naturali e sociali, come la popolarità di siti web, la frequenza delle parole e la distribuzione delle dimensioni delle città.

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Relazione con altre distribuzioni

La variabile casuale di Pareto ha relazioni con altre distribuzioni, come la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Weibull.

Ad esempio, la distribuzione esponenziale è vista come un caso limite della distribuzione di Pareto quando il parametro Ɵ tende all'infinito. Inoltre, la distribuzione di Weibull viene considerata una generalizzazione della variabile causale di Pareto, in quanto include sia la distribuzione esponenziale sia la distribuzione di Pareto come casi particolari.

Approssimazione della distribuzione di Pareto

Approssimazione della distribuzione di Pareto alla distribuzione esponenziale

L'approssimazione della variabile aleatoria di Pareto alla distribuzione esponenziale viene fatta in situazioni specifiche. Quando il parametro Ɵ è grande, la coda della distribuzione diventa meno pesante e inizia ad assomigliare a quella della distribuzione esponenziale.

Per approssimarla alla distribuzione esponenziale, segui questo processo:

  1. Trova il parametro Ɵ.
  2. Calcola il parametro di scala a (che è uguale al valore minimo possibile della variabile casuale di Pareto).
  3. Se Ɵ è grande (ad esempio, Ɵ > 10), può essere approssimata alla distribuzione esponenziale.
  4. Calcola il parametro λ (lambda) della distribuzione esponenziale approssimata come λ = Ɵ / a.
  5. Utilizza il parametro λ per calcolare la PDF e la funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale approssimata.

È importante notare che l'approssimazione alla distribuzione esponenziale è valida solo quando il parametro Ɵ è grande. In altre situazioni, potrebbe non essere adeguata e sarebbero necessarie altre distribuzioni per una migliore approssimazione.

Se hai qualche dubbio sulla distribuzione esponenziale non ti preoccupare perché ho realizzato un video, con l'aiuto della calcolatrice scientifica SHARP, che ti permetterà di svolgere un'esercizio in modo semplice e veloce.

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Esercizio svolto sulla distribuzione esponenziale con la calcolatrice

Approssimazione della distribuzione di Pareto alla distribuzione di Weibull

La distribuzione di Pareto può anche essere approssimata alla distribuzione di Weibull.

Questa approssimazione è utile quando si desidera modellare un fenomeno che mostra sia caratteristiche di legge di potenza sia caratteristiche di altre distribuzioni.

Distribuzione di Pareto Excel

Non esiste un comando specifico

Distribuzione di Pareto SPSS

Non esiste un comando specifico

Riassumendo

  • La distribuzione di Pareto descrive fenomeni in cui una piccola parte della popolazione detiene la maggior parte della ricchezza.
  • Il principio di Pareto, o regola 80/20, è un esempio di applicazione di questa distribuzione.
  • Vilfredo Pareto, l'economista italiano, fu il primo a descrivere la distribuzione e a dimostrare la sua applicabilità alla distribuzione del reddito e delle risorse.
  • La distribuzione ha proprietà matematiche interessanti, come la stabilità sotto scala e la legge di potenza, che la rendono utile nello studio di vari fenomeni.
  • La distribuzione di Pareto ha relazioni con altre distribuzioni, come la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Weibull, che possono essere utili per approssimazioni e generalizzazioni.
  • La comprensione della distribuzione di Pareto è fondamentale per prendere decisioni informate nella gestione delle risorse e nell'analisi dei problemi legati alla distribuzione diseguale delle risorse e dei risultati.

"I dati e le statistiche servono a visualizzare meglio l’incomprensibile."
Fabrizio Caramagna

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