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Lo scarto semplice medio o scostamento semplice medio è un indicatore di dispersione di valori numerici, che deve essere affiancato alla media aritmetica.
In questo articolo ho già spiegato come la media aritmetica sia l’indicatore di sintesi più utilizzato, ma non può essere utilizzata da sola: infatti, per darle un senso, c’è bisogno di aggiungere un numero che misuri gli scarti dalla media.
Innanzitutto vediamo come calcolare lo scarto semplice medio e poi confrontiamolo con il più usato scarto quadratico medio, chiamato anche deviazione standard.
Innanzitutto il primo passaggio da seguire è quello di calcolare la media aritmetica, che otterrai sommando ogni valore e dividendolo poi per il conteggio degli stessi.
Il secondo passaggio è prendere ogni valore xi e togliergli quindi la media appena trovata.
Fai attenzione, in quanto è fondamentale che tali scarti siano presi in valore assoluto, perché la media ha una proprietà particolare per la quale la somma degli scarti è sempre uguale a zero.
Quindi, siccome servirà questa sommatoria nel calcolo, ricordati di prendere i valori assoluti degli scarti.
A questo punto moltiplica gli scarti per le ni, se sei in presenza di una distribuzione di frequenze assolute. Alla fine di questa operazione, somma i valori.
L'ultimo punto è prendere la somma del punto 3 e dividerla infine per il totale delle osservazioni (N). Come risultato finale otterrai proprio la scarto semplice medio.
Supponiamo di avere i punteggi ottenuti da un gruppo di persone in un test.
La tabella seguente mostra i diversi punteggi (\( x_i \)) e il numero di persone (\( n_i \)) che hanno ottenuto quel punteggio:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & n_i \\
\hline
6 & 10 \\
7 & 20 \\
15 & 30 \\
22 & 25 \\
30 & 15 \\
\hline
\textbf{Totale} & 100 \\
\hline
\end{array}
\]
Calcolo della media:
\[
\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}
\]
\[
\bar{x} = \frac{(6 \times 10) + (7 \times 20) + (15 \times 30) + (22 \times 25) + (30 \times 15)}{100}
\]
\[
\bar{x} = \frac{60 + 140 + 450 + 550 + 450}{100} = \frac{1650}{100} = 16.5
\]
Calcolo dello scostamento semplice medio:
\[
SSM = \frac{\sum n_i |x_i - \bar{x}|}{\sum n_i}
\]
\[
\sum n_i |x_i - \bar{x}| =
(10 \times |6 - 16.5|) + (20 \times |7 - 16.5|) + (30 \times |15 - 16.5|) +
(25 \times |22 - 16.5|) + (15 \times |30 - 16.5|)
\]
\[
= (10 \times 10.5) + (20 \times 9.5) + (30 \times 1.5) + (25 \times 5.5) + (15 \times 13.5)
\]
\[
= 105 + 190 + 45 + 137.5 + 202.5
\]
\[
= 680
\]
\[
SSM = \frac{680}{100} = 6.8
\]
In un altro articolo ho spiegato che la deviazione standard è una media quadratica degli scarti.
Sicuramente avrai più familiarità con il concetto di media aritmetica piuttosto che quadratica, perché non solo rientra nella vita quotidiana in quanto è la media più utilizzata, ma viene anche spiegata all'interno dei programmi scolastici di matematica.
Detto questo, il primo dato che devi sapere se vuoi confrontare la deviazione standard e lo scostamento semplice medio è che la media aritmetica è sempre più piccola rispetto a quella quadratica.
Siccome lo scostamento semplice medio assoluto è una media aritmetica degli scarti, significa che se lo usi come indicatore di variabilità, sarà sempre minore rispetto al suo corrispettivo scarto quadratico medio, come abbiamo già accennato.
A questo punto ti potresti chiedere qual è la differenza tra i due e la risposta al quesito si riassume nel fatto che lo scarto quadratico medio, o deviazione standard, è più sensibile alle piccole variazioni delle distribuzioni. E siccome questo è un indice di variabilità, è molto importante che lo sia.
La sua alta sensibilità lo rende quindi più preciso nel determinare quanto i valori siano dispersi rispetto al valore centrale e proprio per questo motivo è più utilizzato dello scostamento semplice medio.
Ora che abbiamo delineato come calcolare lo scostamento semplice medio, e cosa ci illustra, potresti chiederti cosa ci dice invece la deviazione standard, e come interpretare lo scarto quadratico medio. Trovi risposta a questi quesiti e molto altro nell'articolo citato sopra, dedicato appositamente a questi argomenti.
Se invece hai ancora dei dubbi su cosa sia la deviazione standard, guardati il video iniziale in cui te la spiego in modo chiaro e semplice, con l'aiuto di una metafora statistica.
MEDIA.DEV (Num1;Num2;...)
Non esiste
La probabilità massima di trovare un quadrifoglio è una su 10.000, lo 0,01 per cento. Più bassa di quella statisticamente calcolata di essere colpiti da un fulmine in caso di pioggia, e cioè una su 3.000. Una botta di culo incredibile, insomma.
(Film Feisbum)
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