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Differenza media semplice e con ripetizione: 2 indicatori di variabilità

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Postato il 22 Luglio 2020
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La differenza media semplice o la differenza media con ripetizione sono indici di mutua variabilità, che si ottengono facendo la media aritmetica tra tutte le possibili differenze, in valore assoluto, fra le modalità di xi e di xj di un carattere quantitativo.

Tale indice è una misura della variabilità media interna alla distribuzione, cioè fra i singoli valori.

Una sua prima caratteristica che ti è sicuramente utile sapere è che raggiunge il suo valore massimo quando è uguale a due volte la media aritmetica.

Inoltre, rapportando la differenza semplice media con il suo massimo valore di due volte la media, si avrà l’indice di concentrazione di Gini.

Questa importante proprietà serve per comprendere meglio il significato del rapporto di concentrazione di Gini, che ti consiglio di leggere nell’articolo che ti ho linkato sopra.

Come calcolare le differenze medie

Ora che abbiamo delineato che cosa sono la differenza media semplice e quella con ripetizione, e abbiamo anche segnato due loro importanti caratteristiche, passiamo a vedere i differenti passaggi da seguire per calcolarle.

La differenza media semplice

Calcola le differenze

Il primo passaggio che devi seguire è quello di calcolare le differenze tra i numeri di xi e xj, e prenderle in valore assoluto.

Moltiplica le frequenze

Ora che hai calcolato le differenze, prendi ognuna di esse e moltiplicala per le rispettive frequenze assolute di xi e di xj.

Moltiplica per 2

Ora devi sommare tutte le differenze e moltiplicarle per 2.

Il motivo di questa operazione è molto importante: le differenze vanno eseguite sia facendo |xi - xj| sia |xj - xi|.
Di conseguenza, anziché ripetere un’operazione che ti porterebbe allo stesso risultato, falla una sola volta e poi moltiplichi la somma per due.

Dividi per N(N-1)

L'ultimo passaggio da seguire è prendere la somma trovata al punto 3 e dividerla per N(N-1), che sono le possibili combinazioni se si considerano tutte le differenze tra ciascun termine e tutti i restanti termini della distribuzione.

La differenza media con ripetizione

Passiamo ora a delineare come si calcola la differenza media con ripetizione.

Calcola le differenze

Come prima operazione, calcola le differenze tra i numeri di xi e xj e prendile in valore assoluto.

Moltiplica per le frequenze

A questo punto, prendi ogni differenza e moltiplicala per le rispettive frequenze assolute di xi e di xj.

Moltiplica per 2

Come abbiamo visto anche prima, anche per questo calcolo devi sommare tutte le differenze e moltiplicarle per 2.

Il motivo di questa operazione è che le differenze vanno eseguite sia facendo |xi - xj| sia |xj - xi|.
Di conseguenza, anziché ripetere un’operazione che ti porterebbe allo stesso risultato, falla una sola volta e poi moltiplichi la somma per due.

Dividi per N al quadrato

Arrivato a questo punto, come ultimo passaggio devi prendere la somma trovata al punto 3 e dividerla per il quadrato di N, che sono le possibili combinazioni di prima più tutte le differenze tra i numeri e sé stessi, che sono ovviamente zero.

Quando si usano le differenze medie

In un altro articolo, ti ho spiegato che la deviazione standard è una media quadratica degli scarti ed è l’indice di variabilità più usato, ma in alcune circostanze specifiche bisogna ricorrere ad altro per misurare la mutua variabilità.

La mutua variabilità è lo studio della diversità tra le singole unità statistiche, che significa che le differenze vengono eseguite tra i singoli numeri e non tra i numeri e la media aritmetica.

Problemi come la disuguaglianza dei redditi, le diversità economiche e finanziarie tra individui, gruppi e nazioni richiedono di misurare la diversità tra le unità statistiche.

Differenza media
La disuguaglianza è un esempio di mutua variabilità

Lo studio della mutua variabilità ha senso solo per caratteri trasferibili, come appunto il reddito, in quanto solo per questi ultimi è possibile la determinazione della variabilità minima e massima in una distribuzione.

È sempre possibile calcolare la media?

Poichè la media è legata a dati numerici, va da sè che non è sempre calcolabile. La statistica, infatti, non si occupa solamente di numeri ma anche di fenomeni qualitativi, come possono essere la presenza di caratteri come un determinato colore di occhi in una popolazione, oppure il sesso biologico.
Quando si prendono in considerazione queste variabili che non sono numeriche, ma sono chiamate appunto qualitative, non è possibile calcolare la media.

Se hai qualche dubbio sulla media aritmetica, ti invito a ripassare l'argomento leggendo l'articolo che ho scritto appositamente su di essa. In alternativa, ti lascio qui sotto il mio video, in cui ti spiego la media aritmetica in modo semplice e chiaro utilizzando una metafora statistica!

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La media spiegata semplice con una metafora

Differenza media EXCEL

Non esiste

Differenza media SPSS

Non esiste

Riassumendo

  • La differenza media, semplice o con ripetizione, è un indice di mutua variabilità che si ottiene facendo la media aritmetica tra tutte le possibili differenze, in valore assoluto, fra le modalità differenti xi ed xj di un carattere quantitativo.
  • Si usa per problemi legati alla disuguaglianza, come per esempio le differenze di reddito tra uomini e donne, oppure tra diverse nazioni.
  • La differenza media ha senso solo per caratteri trasferibili come, per esempio, il reddito, mentre non può essere utilizzata in presenza di caratteri qualitativi (come, per esempio, il colore dei capelli).

L'uomo può credere all'impossibile, ma non crederà mai all'improbabile.

(Oscar Wilde - scrittore irlandese)

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