Come e quando usare l'indice D di Cohen

L'indice D di Cohen è una misura statistica utilizzata per quantificare la dimensione dell'effetto quando si vuole calcolare l'entità di una differenza di medie tra due gruppi. 

Sono Adriano Gilardone, docente freelance di statistica e in questo articolo ti spiego cosa misura la D di Cohen, come calcolarlo e come interpretare i risultati per le tue analisi statistiche.

Cosa misura l'indice D di Cohen? 

La D di Cohen, nota anche come dimensione dell'effetto di Cohen, misura la grandezza della differenza tra le medie di due gruppi.

A differenza del test di significatività statistica che indica solo se la differenza esiste, l'indice D di Cohen fornisce anche un'indicazione della rilevanza pratica di tale differenza.

Ad esempio, se stai confrontando i punteggi di un test tra due gruppi di studenti, l'indice D di Cohen ti dirà quanto grande è questa differenza. 

Fai attenzione a non confondere questo indice con l’indice Kappa di Cohen, di cui ti ho parlato in un articolo dedicato.

Siccome nel calcolo dell'indice serve la deviazione standard di entrambe le media, può esserti utile guardare la metafora statistica che ho pubblicato sul mio canale YouTube:

Come si calcola l'indice D di Cohen? 

Calcolare l’indice D di Cohen è un processo relativamente semplice una volta che hai compreso i concetti chiave. 

La D di Cohen si calcola utilizzando la differenza tra le medie di due gruppi e la deviazione standard combinata di questi gruppi. La formula varia leggermente a seconda che si tratti di gruppi indipendenti o dipendenti (accoppiati).

Formula della d di Cohen:

\[
d = \frac{M_1 - M_2}{s}
\]

Dove:

• \( M_1 \) è la media del primo gruppo
• \( M_2 \) è la media del secondo gruppo
• \( s \) è la deviazione standard combinata dei due gruppi

Per calcolare la deviazione standard combinata (\(s\)), puoi usare questa formula:

\[
s = \sqrt{ \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} }
\]

Dove:

• \( s_1 \) è la deviazione standard del primo gruppo
• \( s_2 \) è la deviazione standard del secondo gruppo
• \( n_1 \) è il numero di osservazioni nel primo gruppo
• \( n_2 \) è il numero di osservazioni nel secondo gruppo

La D di Cohen rappresenta una misura standardizzata della dimensione dell'effetto.

Esempio indice D di Coehn

Dati del problema:
Due gruppi di 10 persone di diverse capacità hanno eseguito lo stesso lavoro. Si vuole verificare, con un livello di confidenza del 95%, se esiste una differenza tra i tempi impiegati dai due gruppi.

Tabelle dei dati:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\scriptsize{\textbf{Gruppo 1}} \\
\hline
\scriptsize{25} \\
\scriptsize{30} \\
\scriptsize{21} \\
\scriptsize{26} \\
\scriptsize{24} \\
\scriptsize{22} \\
\scriptsize{27} \\
\scriptsize{29} \\
\scriptsize{22} \\
\scriptsize{24} \\
\hline
\end{array}
\quad\quad
\begin{array}{|c|}
\hline
\scriptsize{\textbf{Gruppo 2}} \\
\hline
\scriptsize{24} \\
\scriptsize{28} \\
\scriptsize{20} \\
\scriptsize{31} \\
\scriptsize{22} \\
\scriptsize{21} \\
\scriptsize{28} \\
\scriptsize{21} \\
\scriptsize{23} \\
\scriptsize{23} \\
\hline
\end{array}
\]

Numero di osservazioni per gruppo: \( n_1 = n_2 = 10 \)

Passo 1: Calcolo delle medie

\[
\bar{x}_1 = \frac{25 + 30 + 21 + 26 + 24 + 22 + 27 + 29 + 22 + 24}{10} = \frac{250}{10} = 25
\]

\[
\bar{x}_2 = \frac{24 + 28 + 20 + 31 + 22 + 21 + 28 + 21 + 23 + 23}{10} = \frac{241}{10} = 24.1
\]

Passo 2: Calcolo delle varianze

Scarti al quadrato gruppo 1:

\[
\begin{aligned}
s_1^2 &= \frac{\sum (x_i - \bar{x}_1)^2}{n_1 - 1} \\
&= \frac{(25{-}25)^2 + (30{-}25)^2 + (21{-}25)^2 + (26{-}25)^2 + (24{-}25)^2 + (22{-}25)^2 + (27{-}25)^2 + (29{-}25)^2 + (22{-}25)^2 + (24{-}25)^2}{9} \\
&= \frac{0 + 25 + 16 + 1 + 1 + 9 + 4 + 16 + 9 + 1}{9} = \frac{82}{9} \approx 9.11
\end{aligned}
\]

Scarti al quadrato gruppo 2:

\[
\begin{aligned}
s_2^2 &= \frac{\sum (x_i - \bar{x}_2)^2}{n_2 - 1} \\
&= \frac{(24{-}24.1)^2 + (28{-}24.1)^2 + (20{-}24.1)^2 + (31{-}24.1)^2 + (22{-}24.1)^2 + (21{-}24.1)^2 + (28{-}24.1)^2 + (21{-}24.1)^2 + (23{-}24.1)^2 + (23{-}24.1)^2}{9} \\
&= \frac{0.01 + 15.21 + 16.81 + 47.61 + 4.41 + 9.61 + 15.21 + 9.61 + 1.21 + 1.21}{9} = \frac{120.9}{9} \approx 13.43
\end{aligned}
\]

Passo 3: Deviazione standard congiunta (pooled)

\[
\begin{aligned}
s_p &= \sqrt{ \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} } \\
&= \sqrt{ \frac{9 \cdot 9.11 + 9 \cdot 13.43}{18} } = \sqrt{ \frac{81.99 + 120.87}{18} } \\
&= \sqrt{ \frac{202.86}{18} } = \sqrt{11.27} \approx 3.36
\end{aligned}
\]

Passo 4: Calcolo della d di Cohen

\[
d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p} = \frac{25 - 24.1}{3.36} = \frac{0.9}{3.36} \approx 0.27
\]

Interpretazione: Una d di Cohen pari a \( 0.27 \) rappresenta un effetto di piccola entità.

Interpretazione dell’indice D di Cohen

I valori tipici dell'indice D di Cohen sono interpretati come segue:

• 0.0 - 0.2: effetto piccolo
• 0.2 - 0.5: effetto medio
• 0.5 - 0.8: effetto grande
• > 0.8: effetto grandissimo

Indice D di Cohen Excel

Non c'è un comando specifico ma bisogna calcolarlo con i dati

Indice D di Cohen SPSS

Analizza >>> Confronta medie >>> Test T per campioni indipendenti

Analizza >>> Confronta medie >>> Test T per campioni accoppiati

NOTA: solo a partire dalla versione 27 c'è la spunta dentro il comando per poter far comparire la D di Cohen

Riassumendo

• L'indice D di Cohen misura la dimensione dell'effetto, cioè quanto grande è la differenza tra le medie di due gruppi in termini di deviazioni standard.
• A differenza dei test di significatività statistica, D di Cohen indica la rilevanza pratica della differenza osservata.
• La formula di D di Cohen varia leggermente a seconda che i gruppi siano indipendenti o dipendenti.
• Calcolare D di Cohen richiede di trovare la media e la deviazione standard dei due gruppi, calcolare la deviazione standard combinata e poi usare queste informazioni per trovare l'indice.